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辽宁省实验中学 2023-2024 学年度高考适应性测试（一）
数学参考答案
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C B C D B B
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9 10 11 12
AD AC ABD BC
三、填空题（每题5分，共20分）
13． 14．540 15． 16．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．【详解】（1）取 的中点 ，连接 、 ，
根据中位线定理， ，且 ，
又 ，所以 ， ，则四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2）以 为原点， 、 、过 且垂直底面的直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 、 、 、 ，设 ，
由 ， ， ，
上面联立解方程组得 ， ， ，
故点 ，所以 ，得到 ，
平面 的法向量为 ，由 ．
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司18．【详解】(1)
解：由正弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
由 ，可得 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
(2)
解：由于 ， ，有正弦定理 ，
所以 ， ，
由于 ，
因为 ，所以 ．
因此
19．【详解】解：（1）双曲线 （ ， ）的渐近线方程为 和 ，
答案第2页，共6页由动点 到两条渐近线 ， 的距离之积为 ，
则 ，
又 ，即 ，
解得 ， ，
则双曲线的方程为 ．
（2）证明：设直线 的方程为 ，
与双曲线的方程 联立，可得 ，
直线与双曲线的右支相切，可得 ，可得 ，
设直线 与 轴交于 ，则 ，
，
又双曲线的渐近线方程为 ，
联立 ，可得 ，
同理可得 ，
则 ．
即有 面积为定值2．
20．【详解】（1）解：在等腰梯形 中，作 于 ，
则 ，所以 ，
连接 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又由 平面 ，所以 ，
因为 且 ， 平面 ，所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 就是二面角 的平面角，
在直角 中， ，
所以二面角 的余弦值为 .
（2）解：取 的中点 ，连接 ，可得证四边形 、 均为平行四边形，
所以 ，所以 为等腰梯形 的外心，
取 的中点 ，连接 ，可得 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 为四棱锥 外接球的球心，
所以球的半径为 ，所以 .
21．【详解】（1）令 ，即 ，
解得 或 ，所以 的定义域为 ，
而
，
所以 为奇函数.
（2）令 ，则 ，
答案第4页，共6页又 ，
设 ，且 ，
则
因为 ，且 ，
所以 ， ，
因此 ，即 在 上单调递增，
又因为 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增.
22．【详解】（1）解：因为数列 为等差数列， ， ，
所以数列 的公差为 ， ，
则 ，又 ，
，故数列 为等差数列.
（2）证明：假设数列 中存在不同三项构成等比数列，
不妨设 、 、 （ 、 、 均不相等）成等比数列，即 ，
由数列 的通项公式可得 ，
将此式展开可得 ，
所以有 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以， ，所以， ，
化简整理得 ， ，与假设矛盾，
故数列 中任意三项均不能构成等比数列.
答案第6页，共6页
