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绝密★启用前
重庆市高三数学考试
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 M= {x|x>1},N={x|−1＜3x−1<8}, 则M∩N=
A.(1,3) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(3,+∞)
2.已知z=2−i，则iz在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B第二象限 C.第三象限 D.第四象限
( 1) n
3.若数列{a }的通项公式为 a = − ,则
n n 2
1 1
A.数列{aₙ+aₙ₊₁}是首项为 ，公比为 的等比数列
4 2
1 1
B.数列{aₙ+aₙ₊₁}是首项为 − ,公比为 − 的等比数列
4 2
1 1
C.数列{a +a }是首项为－ ，公比为 的等比数列
n n+1 4 2
1 1
D.数列{a +a }是首项为－ ，公比为－ 的等比数列
n n+1 2 2
4.(2x−y) 5 的展开式中，x2y3的系数为
A.－10 B.10 C. －40 D.40
5.牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究，有数十
道工序，包括处理牛皮、刨制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心，如
图所示的牛皮鼓的鼓面直径为50cm，鼓身高度为60cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆
的最大直径为60cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该
牛皮鼓的体积为
A.22750πcm³
B.23750πcm³
C.45500πcm³
D.47500πcm³
6.若a=log₃6,b=2,c=log 0.125,则
0.25
A. a>c>b B. a>b>c C.b>c>a D. b>a>c
7.设曲线 y=x³−2x²+1 在x=k处的切线为l，若l的倾斜角小于135°，则k的取值范围是
( 1)
A. −∞, ∪(1,+∞)
3
(1 ) (4 )
B.(−∞,0)∪ ,1 ∪ ,+∞
3 3
【高三数学 第 1 页 (共 4 页)】( 1) [4 )
C. −∞, ∪ ,+∞
3 3
(1 ) [4 )
D.(−∞,0]∪ ,1 ∪ ,+∞
3 3
x2 y
8.已知椭圆 C: + =1(a＞b>0)的左、右焦点分别为F₁,F ,点P在C上,
a2 b2 2
且PF₁⊥ F₁F₂,直线PF₂与C交于另一点Q，与y轴交于点
M，若 ⃗M F =2⃗F Q,则C的离心率
2 2
3√3 4
A. B.
7 7
√7 √21
C. D.
3 7
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
( π)
9.若函数 f (x)=sin x+ ,则
4
5π
A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)的图象关于直线 x= 对称
4
C.f (x)+f (−x)=√2cosx D. f(x)的图象关于点
( 5π )
− ,0 对称
4
10.有一组样本数据x ，x ，…，x ，其中任何两个数都不相等，现在删去其中一个数据，得到一组新数据，则下
1 2 8
列判断正确的是
A.新数据的极差可能等于原数据的极差
B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C.若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的方差大于原数据的方差
D.若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的 20%分位数小于原数据的
20%分位数
11.已知定义在 R上的函数f(x)满足f(x+ y)=xf(y)+ yf(x),定义在R上的函数g
(x)满足 g(x+1)=(x+1)(x²+2x),则
A. f(x)不是奇函数. B. f(x)既是奇函数又是偶函数
C. g(x)是奇函数 D. g(x)既不是奇函数又不是偶函
数
12.如图,在三棱锥D−ABC中,平面ABC⊥平面ABD,AB=AC=BC=BD=3,AD=2,则
A.三棱锥D−ABC的体积为6
√34
B.点C到直线AD的距离为
2
3√6
C.二面角B－AD－C的正切值为
4
√3
D.三棱锥D−ABC外接球的球心到平面ABD的距离为
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ .
14.在矩形 ABCD中，O为对角线的交点，E为BC上一点，且向量 AE在向量 AD上的投影向量，为
【高三数学 第 2 页 (共 4 页)】1
⃗AD,⃗OE=λ⃗AB+ μ⃗AD,则,λ-μ=
▲ .
3
15.已知圆M与圆O:x²+ y²=1 内切，且圆M与直线x=2相切，则圆M的圆心的轨迹方程为 ▲ .
(π π) tan2θ
16.已知 θ∈ , ,则当tan 20−tanθ取得最大值时, = ▲ .
4 2 tanθ
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
如图,在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中,O为B₁D₁的中点, ⃗ED =2⃗C E,⃗FB =2⃗C F.
1 1 1 1
(1)证明: B D ∥平面CEF.
1 1
(2)求直线AO与平面CEF所成角的正弦值的平方.
18.(12分)
在△ABC中,A+B=11C,AB=√6−√2.
4
(1)若 cosA= ,求BC的长;
5
(2)若A=2C,D为AB延长线上一点,E为AC边上一点,且AE= √3,DE= √7,
求△BDE 的面积，
19.(12分)
艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者与被测试者在隔开的情况下，通过一些装置(如键盘)向被测试者
随意提问.已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器(记为A)和一个人
(记为B)各提出一个问题，并根据机器A和人的作答来判断谁是机器，若机器A能让至少一半的测试者产生误
判，则机器A通过本轮的图灵测试.假设每名测试者提问相互独立，且甲、乙、丙、丁四人之间的提问互不相
同，而每名测试者有60%的可能性会向A和B问同一个题.当同一名测试者提出的两个问题相同时，机器A被
误判的可能性为10%，当同一名测试者提的两个问题不相同时，机器A被误判的可能性为35%.
(1)当回答一名测试者的问题时，求机器A被误判的概率；
(2)按现有设置程序，求机器A通过本轮图灵测试的概率.
【高三数学 第 3 页 (共 4 页)】20.(12分)
已知S 为数列{a }的前n项和,a₁=1,Sₙ₊₁+Sₙ=(n+1)².
n n
(1)证明: aₙ₊₁+aₙ=2n+1.
(2)求{a }的通项公式.
n
1−a
(3)若 b = n,求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.
n 2n+1
21.(12分)
已知抛物线 C:y²=2px 经过点(2,－2 √6),直线 l₁:y=kx+m(km≠0)与C交于A，B两点(异于坐标原点O)
(1)若 ⃗OA⋅⃗OB=0,证明：直线l₁过定点.
(2)已知k=2,直线l₂在直线l₁的右侧,l ∥l ，l 与l₂之间的距离d=√5,l 交
1 2 1 2
C于M,N两点，试问是否存在m，使得|MN∣－|AB|=10? 若存在
求m的值；若不存在，说明理由.
22.(12分)
1
已知函数 f (x)=cosax+ x2−1.
2
(1) 当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.
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