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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 09 三角函数
三角函数作为高考必考题，高考题型一般作为小题出现，偶尔也会出现解答题。小题部分一般是函数解析
式应用，求参数取值范围。
考点01 三角函数概念
考点02 三角函数恒等变形
考点03 三角函数图像及性质
考点04 三角函数综合应用
考点 01 三角函数概念
1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则 ( )
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
解析：方法一：由α为第四象限角，可得 ，
所以
此时 的终边落在第三、四象限及 轴的非正半轴上，所以
故选：D．
方法二：当 时， ，选项B错误；
当 时， ，选项A错误；
由 在第四象限可得： ，则 ，选项C错误，选项D正
确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力．
2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第9题)已知 ，且 ，则 ( )
1A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，得 ，
即 ，解得 或 (舍去)，
又 ．
故选：A．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求
解能力，属于基础题．
3．(2021年高考全国甲卷理科·第9题)若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：
，
， ， ，解得 ，
， ．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 ．
4．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第9题)已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ= ( )
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
解析： ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 ．
故选：D．
2【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题
二 填空
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第14题)已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为
_______．
【答案】1
解析：设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则
，解得 ．
2．(2021高考北京·第14题)若点 关于 轴对称点为 ，写出 的一
个取值为___．
【答案】 (满足 即可)
解析： 与 关于 轴对称，即 关于 轴对称，
，则 ，当 时，可取 的一个值为 ．
故答案为： (满足 即可)．
3．(2023年北京卷·第13题)已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p
为假命题的一组 的值为 __________， _________．
【答案】①． ②．
解析：因为 在 上单调递增，若 ，则 ，
取 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，
即 ，则 ．
不妨取 ，即 满足题意．
3故答案为： ．
4．(2020年浙江省高考数学试卷·第13题)已知 ，则 ________； ______．
【答案】(1)． (2)．
解析： ，
，
5．(2014高考数学陕西理科·第13题)设 ，向量 ，若 ∥ ，则
_______．
【答案】
解析: ， ,因为 ，所以 ，
，即 ．
考点 02 三角函数恒等变形
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第8题)已知 ，则 ( )．
A． B． C． D．
【答案】B
解析：因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 ．
故选：B
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第7题)已知 锐角， ，则 ( )．
为
A． B． C． D．
4【答案】D
解析:因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
3．(2021年高考浙江卷·第8题)已知 是互不相同 锐的角，则在 三个值
中，大于 的个数的最大值是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
解析:法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，故 不可能均大于 ．
取 ， ， ，则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，故选C．
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 ．
取 ， ， ，则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，故选C．
4．(2021年新高考Ⅰ卷·第6题)若 ，则 ( )
.
A B． C． D．
5【答案】C
解析:将式子进行齐次化处理得：
,故选C．
5．(2022新高考全国II卷·第6题)若 ，则 ( )
A． B．
.
C D．
【答案】C
解析：由已知得： ,
即： ，
,
即： 所以 , 故选：C
6．(2019·上海·第16题)已知 .
①存在 在第一象限，角 在第三象限；
②存在 在第二象限，角 在第四象限；
A. ①②均正确；B．①②均错误；C．①对，②错；D．①错，②对
【答案】D
【解析】(推荐)取特殊值检验法：例如：令 和 ，求 看是否存在.(考试中，若
有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.
(一般方法)
设 则 ；
以 为主元则可写成： 其判别式 ；
设函数 ，并设 ，则
6即 单调递减；
而 ，故 的零点在 上，设为 ；
则当 时， ，当 时， ；
故存在 使得
而对方程 ，根据韦达定理，
存在 时，而 使得对应的 存在，而此时 ，故此时 必为负数，即 在Ⅱ
或Ⅳ象限；
也同样存在 ，使得对应的 存在，此时 ，故此时必存在一个 值为负数，另一个
为正数，即 在Ⅱ、Ⅳ象限或Ⅰ、Ⅲ象限均可，故选D．
【点评】本题主要考三角恒等变换、不等式综合.
7．(2019·全国Ⅱ·理·第10题)已知 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ . ,∴ ， ，
∴ ， 又 ， ∴ ， ， 又 ， ∴
sin2cos21 sin0
，故选B．
【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．本题为三
角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是
关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切
记不能凭感觉．
二 填空
1．(2022年浙江省高考数学试题·第13题)若 ，则 __________，
_________．
7【答案】 ①． ②．
解析: ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 ．
故答案为： ； ．
2．(2020江苏高考·第8题)已知 ，则 的值是____．
【答案】
【解析】
,故答案为：
3．(2019·江苏·第13题)已知 ，则 的值是 .
【答案】
【解析】法1： ，解得， 或 .
所以 ＝
＝ ＝ .
8法2：令 ，则 ，即 ，
解得 ，所以 .
考点 03 三角函数图像及性质
1．(2023年全国乙卷理科·第6题)已知函数 在区间 单调递增，直线 和
为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D．
2．(2023年全国甲卷理科·第10题)函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单
位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
9解析：因为 向左平移 个单位所得函数为
，所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 ．
故选：C．
3．(2021年新高考Ⅰ卷·第4题)下列区间中，函数 单调递增的区间是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析:因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
10解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件,故选A．
2π
C : y sin 2x
C : y cosx 2 3
4．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第9题)已知曲线 1 , ,则下面结论正
确的是 ( )
π
C
A．把 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度,得到
C
曲线 2
π
C
B．把 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到
C
曲线 2
1 π
C
C．把 1上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度,得到
C
曲线 2
1 π
C
D．把 1上各点的横坐标缩短到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得
C
到曲线 2
【答案】 D
C ,C C C
【解析】因为 1 2函数名不同,所以先将 2利用诱导公式转化成与 1相同的函数名,则
2π 2π π π 1
C : y sin 2x cos 2x cos 2x
2 3 3 2 6 ,则由 C 1上各点的横坐标缩短到原来的 2
π
倍变为 y sin2x ,再将曲线向左平移12个单位得到 C 2,故选D．
5．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第7题)设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的
最小正周期为 ( )
11A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为 故选：C
6．(2022高考北京卷·第5题)已知函数 ，则 ( )
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C解析:因为 ．
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
12对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错．故选,C．
7．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第12题)已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ,因为当
所以 ,即 ,所以 ；设 ，
，所以 在 单调递增，则 ,所以 ，
所以 ,所以 ，故选：A
8．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数 的图象，只要把函数
图象上所有的点 ( )
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D解析:因为 ，所以把函数 图象上的
所有点向右平移 个单位长度即可得到函数 的图象．故选,D．
9．(2022新高考全国I卷·第6题)记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象关于点 中心对称，则 ( )
A．1 B． C． D．3
【答案】A解析: 由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
13又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ． 故选：A
10．(2021高考北京·第7题)函数 是 ( )
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
解析：由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 ． 故选：D．
11．(2020天津高考·第8题)已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是 ( )
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确．故选：B．
12．(2019·天津·理·第7题)已知函数 是奇函数，将 的
14图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为 ．若 的最
小正周期为 ，且
，则 ( )
A． B． C． D．2
【答案】答案：C
解析： 是奇函数， ，又因为 ，
，因为 的最小正周期为 ，且 ，所以 ， ，
，可得 ， ， ．
( )
13．(2019·全国Ⅱ·理·第9题)下列函数中，以 为周期且在区间 单调递增的是
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为y sin|x|图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为y cos x cosx，周期为
，排除C，作出 图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递增，A正确；
y cos2x
2 2
作出 的图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递减，排除B，故选A.
y sin2x
2
15【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，
即可做出选择．利用二级结论：①函数y f(x) 的周期是函数y f(x)周期的一半；②
y sinx 不是周期函数；③函数 ，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角
函数的周期，例如， ，所以周期 .
14．(2019·全国Ⅰ·理·第11题)关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数② 在区间 单调递增
③ 在 有4个零点④ 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 ( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】答案：C
解析：作出函数 的图象如图所示，
由图可知， 是偶函数，①正确， 在区间 单调递减，②错误，
在 有3个零点，③错误； 的最大值为2，④正确，故选C．
ysinx
O
ysinx
3π 5π 2π 3π π π O π π 3π 2π 5π 3π
2 2 2 2 2 2
ysinxsinx
O
二 填空
1．(2021年高考全国甲卷理科·第16题)已知函数 的部分图像如图所示，则满足条
件 的最小正整数x为________．
16【答案】2
解析：由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 ．
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2．
17方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可
得 的最小正整数为2．
故答案为：2．
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 ，根据特殊点求
解 ．
2．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第16题)关于函数f(x)= 有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x= 对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
解析：对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
18，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中
等题．
3．(2020江苏高考·第10题)将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与
轴最近的对称轴的方程是____．
【答案】
【解析】 , ,
当 时 ,故答案为：
4．(2020北京高考·第14题)若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为
________．
【答案】 ( 均可)
【解析】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 ．故答案为： ( 均可)．
5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第15题)记函数 的最小正周
期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为____________．
【答案】3
解析：因为 ，( ， )
所以最小正周期 ，因为 ，
19又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
6．(2019·北京·理·第9题)函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】 ．
【解析】函数 ，周期为 ．
考点 04 三角函数综合应用
1．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第11题)设函数 在区间 恰有三个极值点、两个
零点，则 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
202．(2019·全国Ⅲ·理·第12题)设函数 ( ＞0)，已知 在 有且仅有5个零点，
下述四个结论：
① 在 有且仅有3个极大值点② 在 有且仅有2个极小值点
③ 在 单调递增④ 的取值范围是
其中所有正确结论的编号是 ( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】 在 有且仅有3个极大值点，分别对应 ，故①正确．
在 有2个或3个极小值点，分别对应 和 ，
故②不正确．
因为当 时， ，由 在 有且仅有 5 个零点．则
，解得 ，故④正确．
由 ，得 ， ，所以 在 单调递增，
故③正确．
综上所述，本题选D．
【点评】本题为三角函数与零点结合问题，难度中等，可数形结合，分析得出答案，考查数形结合思
想．在本题中，极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错．
3．(2020北京高考·第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day)．历史上，求圆周率 的方
法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，
计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形(各边均与圆相切的正 边形)的周长，将它们的
算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是 ( )．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为 ，
21所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，则 ．
故选：A．
二 填空
1．(2022年浙江省高考数学试题·第17题)设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是_______．
【答案】
解析:以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 ,
，设 ,于是 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是
．
故答案为： ．
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第15题)已知函数 在区间 有且仅有3个零
点，则 的取值范围是________．
【答案】
22解析：因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： ．
3．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第16题)已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线
的两个交点，若 ，则 ______．
【答案】
解析：设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
23故答案为： ．
三 解答题
1 (2019·浙江·第18题)设函数 ， ．
(Ⅰ)已知 ，函数 是偶函数，求 的值；
(Ⅱ)求函数 的值域．
【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14
分。
【 解 析 】 (Ⅰ ) 解 法 一 ： 因 为 是 偶 函 数 ， 所 以 ， 对 任 意 实 数 都 有
，
即 ，故 ，所以 ，又 ，
因此， 或 ．
解法二：根据诱导公式， ， ，因为 是偶函数，
，
所以
(Ⅱ)
．因此，函数的值域是 ．
．
2．(2021年高考浙江卷·第18题)设函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 在 上的最大值．
【答案】(1) ；(2) ．
解析:(1)由辅助角公式得 ，
24则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
(2)由题意，
，
由 可得 ，所以当 即 时，函数取最大值 ．
3 (2023年北京卷·第17题)设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件
中选择一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1) ．
(2)条件①不能使函数 存在；条件②或条件③可解得 ， ．
解析：(1)因为
25所以 ，
因为 ，所以 ．
(2)因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 ．
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件
①不能使函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 ．
以下与条件②相同．
26
