文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合 和集合 ，根据并集的定义求解即可.
【详解】 ， ，
， ，
.
故选：C.
2．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】应用复数模的求法、乘方和除法运算化简，即可确定对应点所在象限.
【详解】由题设 ，对应点为 在第四象限.
故选：D
3．下列结论正确的有（ ）
① 是 的充要条件
② 的最小值为2③命题“ ， ”的否定是“ ， ”
④关于x的不等式 有解，实数a的范围是 或 .
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．③④
【答案】B
【分析】由充分、必要性定义判断①；由基本不等式及最值取值条件判断②；由特称命题的否定：存在改
任意并否定原结论判断③；根据一元二次不等式有解得 求参数范围判断④.
【详解】①由 ，即 同号，故 ；由 ，即 同号，故 ，对；
②由 ，
显然 ，即 不成立，最小值不为2，错；
③由特称命题的否定为全称命题,则 ， ，对；
④由题设 ，可得 或 ，对.
故选：B
4．（河北省石家庄市2023届高三三模数学试题）已知函数 同时满足性质：① ；②对
于 ， ，则函数 可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数奇偶性和单调性的定义进行辨析即可.
【详解】由函数奇偶性的定义，若函数 满足 ，则函数 为奇函数，由函数单调性的定义，若函数 满足 ， ，则函数 在区间 上单
调递增，
选项中四个函数定义域均为 ， ，都有
对于A， ，故 为奇函数，满足性质①，
∵ 与 均在 上单调递增，∴ 在 上单调递增，满足性质②；
对于B，由指数函数的性质， 为非奇非偶函数，在 上单调递减，性质①，②均不满足；
对于C， ，故 为奇函数，满足性质①，
令 ， ，解得 ， ，
∴ 的单调递增区间为 ， ，故 在 不单调，不满足性质②；
对于D，由幂函数的性质， 为偶函数，在区间 单调递增，不满足性质①，满足性质②.
故选：A.
5．在直三棱柱 中， ，M，N分别是 ， 的中点， ，则AM
与CN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以 为原点，以 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，令 ，利
用向量法求线线角即可.
【详解】直三棱柱 中， ，
如图，以 为原点，以 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，令 ，则 ，
，
.
令 与 所成角为 .
则 .
故选：C.
6．2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4
位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则
不同的分配方法数是（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】C
【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.
【详解】将4名志愿者分配到两所敬老院，则由以下两种分配方案：
①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有 种，
②两所敬老院各安排两名志愿者，则有 种，
故共有 种方案，
故选：C
7．某同学将函数 的部分图象进行平移后，得到 （其中 ）的部分图象如图所示，则这种平移可能是（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
【答案】D
【分析】根据图象的特点及三角函数图象变换计算验证即可.
【详解】若 向左平移 个长度单位得 ，
显然当 时， ，与图象不符，即A错误；
若 向右平移 个长度单位得 ，
显然当 时， ，与图象不符，即B错误；
若 向左平移 个长度单位得 ，
显然当 时， ，与图象不符，即C错误；
若 向右平移 个长度单位得 ，
显然当 时， ，当 时， ，
与图象相符，即D错误；
故选：D
8．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一
支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛
的概率均为 ，乙通过每个阶段比赛的概率均为 ，丙通过每个阶段比赛的概率均为 ，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】队伍进入决赛是指通过初赛和复赛阶段，又每个阶段至少一人通过则队伍通过，三人均未通过则
该阶段队伍未通过.结合对立事件的概率与相互独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】设某个阶段甲、乙、丙三人通过比赛分别记为事件 ，
由题意知， ，
设队伍通过某个阶段为事件 ，
至少一人通过该阶段比赛则队伍通过，则其对立事件为三人均未通过该阶段比赛，
即 ，且三人每次通过与否互不影响，
则
.
设这支队伍进入决赛为事件 ，则队伍在初赛和复赛两个阶段都通过，
由题意知，队伍通过每个阶段的概率都相等，
则 .
故选：B.
9．我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距
离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点 ， ，O为坐标原点，余弦相似度为
向量 ， 夹角的余弦值，记作 ，余弦距离为 .已知 ，
， ，若P，Q的余弦距离为 ， ，则Q，R的余弦距离为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设得 利用向量夹角公式求得
，根据新定义及正余弦齐次运算可求目标函数值.
【详解】由题意得
则 ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
，
故选：
10．函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性可说明C错误；判断函数的单调性结合选项中图象可判断D错误；判断函数的
周期性可判断A，B。
【详解】由于 ， ，故 ，
即 为奇函数，图像关于原点对称，故C中图象错误；
令 ，由于 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，同理推得 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，D错误；
由于 的最小正周期依次为 ，
故 的最小正周期为 ，
故 在 上的图象和在 上的图像平移后应该重合，
B中图象不满足，故B错误，
只有A中图象符合函数 满足的上述性质，A正确，
故选：A
11．已知圆 与双曲线 ，若在双曲线 上存在一点 ，使得
过点 所作的圆 的两条切线，切点为 、 ，且 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】连接 、 、 ，则 ， ，设点 ，则 ，分析可得
，可得出 的取值范围，由 可求得 的取值范围.【详解】连接 、 、 ，则 ， ，
由切线长定理可知， ，
又因为 ， ，所以， ，
所以， ，则 ，
设点 ，则 ，且 ，
所以， ，
所以， ，故 ，
故选：B.
12． ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数单调性比较大小即得.【详解】依题意， ，
令 ，
求导得 ，
因此函数 在 上单调递增， ，即 ，则 ；
令 ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递增， ，即 ，则 ，
所以 .
故选：B
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知 ， 是平面内两个不共线的非零向量， ， ， ，且A，
E，C三点共线，实数 ．
【答案】
【分析】利用三点共线，得到向量的线性关系，列出相应的方程组，解出 的值，即得答案.
【详解】 ， ，
，
， ， 三点共线，
存在 ，使得 ，
，
,
,是平面内两个不共线的非零向量，
，解得 ，
实数 的值为 .
故答案为： .
14．双曲线 的右焦点为 ，点 在 的一条渐近线上， 为坐标原点，若 ，则
的面积为 .
【答案】
【分析】由双曲线方程可得焦点坐标和渐近线方程，进而 为等腰直角三角形，进而可得面积.
【详解】由双曲线 ，
则 ，渐近线方程为 ，
所以 ，
又 ，
所以 是以 为底的等腰直角三角形，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
15．在 中， ， ， ， 的角平分线交 于 ，则 ．
【答案】
【分析】由余弦定理求得 ，然后由角平分线定理求得 ， ，再由余弦定理利用
，求得 ．【详解】 中，由余弦定理 得 ，
解得 （ 舍去），
是角平分线，则 ，
所以 ， ，
又由余弦定理得：
，
，
而 ，
因此 ，
，
， ．
故答案为： ．
16．在正方体 中， 为棱 上的动点， 为线段 的中点.给出下列四个结论：
① ；
②直线 与平面 的夹角不变；
③三棱锥 的体积不变；④点 到 ， ， ， 四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为
【答案】①③④
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断①②④的正确性，根据锥体体积公式判断③的正确性，
【详解】对于③， ， 的面积为定值，
到平面 的距离为定值，所以三棱锥 的体积不变，所以③正确.
以 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的边长为 ，设 ， ，
， ，
,
，所以 ，所以①正确.
，平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 的夹角为 ，
则 不是定值，所以②错误.
， ，
， ，
，
所以点 到 ， ， ， 四点的距离相等，所以④正确.
故答案为：①③④三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别是否有关，随机抽取70名学生，得到如下的列
联表：
倾向“坐标系与参数方 倾向“不等式选
程” 讲”
男
15 25
生
女
20 10
生
附： ．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)根据表中提供的数据，判断是否有 以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”
与性别有关？
(2)在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3
人参与问卷调查，记3人中男生人数为 ，求 的分布列及数学期望．
【答案】(1)有 以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关
(2)分布列见解析，【分析】（1）根据卡方的计算公式即可与临界值比较作答，
（2）根据超几何分布的概率计算，求解概率，即可求解分布列.
【详解】（1）依题意得 列联表：
倾向“坐标系与参数方 倾向“不等式选
合计
程” 讲”
男
15 25 40
生
女
20 10 30
生
合
35 35 70
计
所以 ，（4分）
所以有 以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关．（6分）
（2）在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，女生与男生的人数的比值为 ，所以在倾向“坐
标系与参数方程”的学生抽取的7人中男生有3人．
所以 的取值为 ，
则 ．（9分）
故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 ．（12分）
18．（12分）从① ， ， 成等差数列；② ， ， 成等比数列；③ 这三个条件中任选一
个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知 为数列 的前 项和， ， ，且________.
(1)求数列 的通项公式；(2)记 ，求数列 的前 项和 .
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 可得数列 为等比数列，公比为 ，进而结合等差中项、等比中项、等
比数列的前 项和公式求解即可；
（2）分 为奇数和 为偶数两种情况结合等差、等比数列的前 项和公式分别进行求和，进而求解.
【详解】（1）由 ， ，
当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
所以数列 为等比数列，公比为 .（3分）
选①，由 ， ， 成等差数列，
可得 ，即 ，
解得 ，所以 .（6分）
选②，由 ， ， 成等比数列，
得 ，即 ，
解得 ，所以 .（6分）选③，由 ，得 ，
所以 .（6分）
（2）当 为奇数时， ，
记前 项和 中的奇数项之和为 ，
则 .（9分）
当 为偶数时， ，
记前 项和 中的偶数项之和为 ，
则 ，
故 .（12分）
19．（12分）如图，在三棱柱 中， ， ， ， ，
且 平面 ．(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得 平面 ，从而即可证明 ；
（2）建立以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴的空间坐标系，利用空间向量求解
即可.
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，四边形 是平行四边形，
所以四边形 是菱形，所以 ．（2分）
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ．（5分）
（2）解：以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ， ，所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ， ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ， ，
所以 ，（9分）
设二面角 的大小为 ，
因为 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 ．（12分）
20．（12分）已知椭圆 离心率等于 且椭圆C经过点 ．
(1)求椭圆的标准方程 ；
(2)若直线 与轨迹 交于 两点， 为坐标原点，直线 的斜率之积等于 ，试探求
的面积是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意，由条件列出关于 的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得 ，再表示出 点到直线
的距离 ，由三角形的面积公式，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 .（3分）
（2）
设 ，联立直线和椭圆方程可得： ，
消去 可得： ，所以
，
即 ，则 ，（6分）
， ，
把韦达定理代入可得： ，
整理得 ，（9分）又 ，
而 点到直线 的距离 ，
所以 ，
把 代入，则 ，可得 是定值1．（12分）
21．（12分）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若0是函数 的极小值点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）构造函数多次求导，通过分类讨论逐次不同阶段研究导函数的符号与函数的单调性关系，最终还原
为原函数的单调性分析，验证在 处函数的极大（小）值的情况即可.
【详解】（1）由 ，
则 ，
所以 ，即切线斜率为 ，
又 ，则切点为 .
切线方程为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ．（3分）
（2）根据题意得， ，
则 ．
由0为 的极小值点，可知 ．
设 ，
则 ．（5分）
（ⅰ）当 时， ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．（7分）
（ⅱ）当 时，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增， ，
，
所以存在 ，使得 ，所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；
当 时， ， 单调递增，即 单调递增.
又 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．（9分）
（ⅲ）当 时， ，且 在 上单调递增，
所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；
当 时， ， 单调递增，即 单调递增.
又 ，所以 ， 单调递增，不符合题意．
（ⅳ）当 时， ， 在 上单调递增， ，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减，又 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以0是 的极大值点，不符合题意．
综上， 的取值范围是 ．（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线 的参数方程分别为 （ 为参数）， （ 为参数）．
(1)将 的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线 与曲线 分别
交于 两点（异于极点），点 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得 的普通方程，利用 得到 的普通方程；
（2）分别求得 的极坐标方程，联立射线，从而得到 ， ，进而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为曲线 的参数方程为 （t为参数），
则 ， ，
两式相减，得 的普通方程为： ；
曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以 的普通方程为： .（5分）
（2）因为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，即 ，联立 ，得 ，
所以射线 与曲线 交于A ，（7分）
而 的普通方程 ，可化为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，
所以射线 与曲线 交于B ，
又点 ，所以 ，
则 ．（10分）
选修4-5：不等式选讲
23．已知a、b均为正数，设 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为6，求 的值，并求 的最小值.
【答案】(1) ；
(2)1
【分析】（1）根据经验值性质分类讨论去掉绝对值符号求解；
（2）同经验值性质求最小值得 ，再利用“1”的代换求最小值.
【详解】（1）由已知不等式 为 ，
时，不等式为 ， ，所以 ；时，不等式为 ， ，不成立；
时，不等式为 ， ，所以 ，
综上，不等式的解集为 ；（5分）
（2） ，即 的最小值是 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以所求最小值为1. （10分）
