文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ，若 ，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解二次不等式及绝对值不等式，结合数轴即可求解.
【详解】因为 ， ，因为 ，
则 ，所以 .
故选：C．
2．在复平面内，复数 对应的向量分别是 ，则复数 对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】由已知得出 ，然后根据复数的除法运算化简得出 ，根据复数的几何意义，
即可得出答案.
【详解】由已知可得， ， ，
则 ，所以，复数 对应的点为 ，该点位于第一象限.
故选：A.
3．若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性可得答案.
【详解】因为 ， ，
，
所以 .
故选：C.
4．某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了 名学生到 三个劳动实践点去
劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】按照先分组，再分配的方法，即可求解.
【详解】将5名学生分成3组，3，1，1或是2，2，1
3，1，1的分组有 种方法，2，2，1的分组有 种方法，
所以分组方法共有 种，再分配到3个劳动点，则有 种方法.
故选：D
5．已知函数 在 上单调，且 ，则 的取值共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】根据单调区间可确定周期范围，结合 可得 ，然后即可确定
的取值.
【详解】因为函数 在 上单调，
所以 ，
又 ，
所以 ，得 ，
当 ，即 时，满足题意，
此时 .
故选：C
6．如图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（ ）
A． 或4 B．2或6 C． 或6 D．6或4
【答案】C
【分析】根据程序框图得到函数解析式，再分类讨论，结合函数解析式计算可得.
【详解】由程序框图可得 ，可知 或 ，
解得 或 .故选：C
7．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情
况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．
按照 的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间
内的人数为16．则下列结论不正确的是（ ）
A．样本容量
B．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此
称号
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．图中
【答案】B
【分析】由频率分布直方图区间 的概率确定样本总容量，由频率和为1求 ，根据频率分布直方图
估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．
【详解】解：对于A：因为成绩落在区间 内的人数为16，所以样本容量 ，故A
正确；
对于B：因为 ，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含
78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故B不正确．
对于C：学生成绩平均分为：
，故C正确；对于D：因为 ，解得 ，故D正确；
故选：B
8．已知各项均为正数的等比数列 ， ， ， 成等差数列，若 中存在两项 ， ，使得 为
其等比中项，则 的最小值为（ ）
A．4 B．9 C． D．
【答案】D
【分析】根据 ， ， 成等差数列，可得 ，即可求得q值，根据 为 ， 的等比中
项，可求得 ，利用基本不等式“1”的活用，即可求得答案.
【详解】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
又 为各项均为正数的等比数列，设首项为 ，公比为q，
所以 ，所以 ，
解得 或 （舍），
又 为 ， 的等比中项，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D【点睛】解题的关键是熟练掌握等差中项、等比中项、基本不等式等知识，并灵活应用，数列中应用基本
不等式时，应注意取等条件，即角标m，n必须为正整数，属中档题.
9．已知三棱锥 的四个顶点在球O的球面上， ， ，E，
F分别是 ， 的中点， ，则球O的体积为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】先证得 平面 ，再求得 ，从而得 为正方体一部分，进而知正
方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
， ，
所以 ，故 为等边三角形， 为正三棱锥，
取 的中点O，连接 ，则 ，
又 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
又 ， 分别为 、 中点，
， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
又 面 ，所以 ，
， ，
在 中由勾股定理得 ，
为正方体一部分， ，即 ，，
故选：D．
【点睛】思路点睛：补体法解决外接球问题，可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得
到侧棱长，进而补体成正方体解决．
10．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内
的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 的半径2，点 是圆 内的定点，且
，弦 均过点 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 为定值
B．当 时， 为定值
C． 的取值范围是
D． 的最大值为12
【答案】D
【分析】过 作直径 ，利用向量加减几何意义得 判断A；根
据垂直关系及 、数量积得运算律化简判断B；若 为 中点，连接 ，
应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得 ，进而求范围判断C；由
弦 的最大值判断D.
【详解】如图，过 作直径 ，依题意，为定值，A正确；
若 ，则 ，
则 ，
又 ，则 ，同理可得 ，故 ，B正确；
若 为 中点，连接 ，则
，
由题意 ，则 ，C正确；
因为 ，则有 ，D错误.
故选：D
【点睛】关键点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关
系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误.
11．已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直线
交双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】设过 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线于点 ，运用双曲线的定义和条件可得， ， ，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】设过 与双曲线的一条渐近线 平行的直线交双曲线于点 ，
由双曲线的定义可得 ，
由 ，可得 ， ， ，
由 可得 ，
在三角形 中，由余弦定理可得：
，
即有 ，化简可得 ，
所以双曲线的离心率 ．
故选：C．
12．已知函数 ，（其中 是自然对数的底数），若 在 上恒成立，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解法一，利用利用导数求得 的最小值，由此列不等式来求得 的取值范围.解法二，利用分
离常数法，结合导数求得 的取值范围.解法三、四，利用切线放缩来求得 的取值范围.
【详解】解法1：要使 在 上恒成立，只需 即可．
，又 ，易知： 在 上递增．
因为当 趋向于0时， 趋向负无穷，当 趋向正无穷时， 趋向正无穷，所以， 在 上存在唯一的零点 ，满足 ，
所以 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 ．
由 得： ，必有 ， ，
两边同时取自然对数，则有 ，即 ．
构造函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，
所以 ，即 ，故 ，
于是实数m的取值范围是 ．
解法2：要使 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立．
令 ，则只需 即可．
，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ， ，
所以 有唯一的零点 ，且 ， 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，两边同时取自然对数，则有 ，即
．构造函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，即 ，即 ．
即 ．
于是实数m的取值范围是
解法3：（切线放缩，避开零点）要使 在 上恒成立，等价于 在
上恒成立．
先证明 ，令 ，则 ，
于是，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以 ，故 （当且仅当 时取等号），
所以，当 时，有 ，所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号，于是实数m的取值范围是 ．
解法4：（切线放缩，避开零点）
先证明 ，令 ，
所以在区间 上 单调递减；在区间 上 单调递增，
所以 ，所以 .
∵
∴ ，当 时，等号成立；
而 在 上单调递增，且 ，所以存在 ，使得 成立.
【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，解决方法有很多，可以考虑直接法，也可以考虑分
离参数法，还可以考虑利用放缩法来进行求解.在利用导数研究函数的单调性、最值的过程中，如果一次求
导无法求得，可以考虑多次求导来进行求解.
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数 在 处的切线方程为 ，则 ．
【答案】 /
【分析】求导得到导函数，根据切线方程得到 ，解得答案.
【详解】 ， ，
函数在 处的切线方程为 ，即 ，则 ，
解得 或 （舍），故 .
故答案为：
14．抛物线 上的动点M到两定点 的距离之和的最小值为 ．
【答案】4
【详解】[抛物线标准方程为 ，其焦点坐标为 ，准线方程为 ，则 的长度等于点M
到准线 的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点 到直线 的距离．即最小
值为4．]
15．如图，在棱长为4的正方体 中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含
边界），且 ，则线段 的长度的取值范围是 ．【答案】
【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点 的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的
取值范围.
【详解】以D为原点，以DA，DC， 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ， ，
设 ，则 ，
，又 ，所以 ，
即 ，则 ．
当 时， ，设 ，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF，
所以 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以线段 的长度的取值范围是 ．故答案为：
16．若锐角 的内角 所对的边分别为 ，其外接圆的半径为 ，且
，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先利用三角恒等变换求得 ，结合正弦定理边化角可得 ，进一
步结合 是锐角三角形、 即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，由正弦定理得 ，
显然 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 外接圆的半径为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，即 .
令 ，
根据对勾函数的性质可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题的关键是适当利用两角和差公式、正弦定理边化角将目标函数表示出来，然后结
合角的范围求解即可.
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列 ， 满足 ， ， .
(1)证明： 为等差数列.
(2)设数列 的前 项和为 ，求 .
【详解】（1）由题意得 ， ，..........................................1分
则 ，........................................3分所以 是首项 ，公差为1的等差数列. ...................................................................5分
（2）由（1）得 ，则 ，.......................................................7分
当 为偶数时，
..............................................................................9分
当 为奇数时， 为偶数，
则 .......................................................................11分
综上， .....................................................................................................................12分
18．（12分）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一
个生产周期中的100件产品的关键指标（单位： ），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数 和方差 ．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 ，用直方图的平均数估计值 作为
的估计值 ，用直方图的标准差估计值 作为 估计值 ．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出
现了 之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用 和 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在 之外的零件
个数，求 及 的数学期望．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
【详解】（1）由频率分布直方图，得 ． 2分
．........4分
（2）（i）由（1）可知 ， ，.....................................................................5分
所以 ， ，...........................................................6分
显然抽查中的零件指标 ，故需停止生产并检查设备．................................................7分
（ii）抽测一个零件关键指标在 之内的概率为 ，
所以抽测一个零件关键指标在 之外的概率为 ，
故 .............................................................................................................................9分
，所以 ，..............................................11分
X的数学期望 ．.......................................................................................12分
19．（12分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
， 是 的中点，点 在线段 上．(1)当 是 中点时，求点 到平面 的距离；
(2)当二面角 的正弦值为 时，求 的值．
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ．
在平面 内作 ，又 ，所以 两两垂直，......................................1分
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
............................................................................................................2分
因为 ， ， ，N是 中点，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
设平面 的法向量 ，
则 即 取 ．................................................................4分所以点N到平面 的距离 ．...................................................................5分
（2）因为M是 的中点，所以 ，设 ，
则 ， ， ．.......................................................6分
设平面 的法向量 ，
则 即 取 ．...........................................7分
设平面 的法向量 ，
则 即 取 ．..............................9分
设二面角 的大小为 ，则 ．
设 ，因为二面角 的正弦值为 ，
所以 ，解得 ，此时 ，..........................................................................11分
所以 ．.......................................................................................................................................12分
20．（12分）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，过点 且斜率为 的
直线 交椭圆 于点 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若圆 是以 为圆心，1为半径的圆，连接 ，线段 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，使得为定值，证明：点 在定直线上．
【详解】（1）依题意可得 ，可设 ， ，
由 ，消去 整理得 ，............................................2分
， ，
， ，
，.......................................................................................................................4分
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ...............................................................................................................................................4分
（2）由（1）知 ， ，
若直线 斜率存在，则 ， 直线 ，
由 得 ，又点 在线段 上，.......................................................5分
所以 ，即 ，又 ，
，...............................................................................................................7分
设 ，则 ，；
当 时， 为定值，此时 ，则 ，此时 在定直线 上；
当 时， 不为定值，不合题意；.............................................................................9分
若直线 斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设 ，从而有 ， ，
此时 ，则直线 ，
设 ，则 ， ， ，
则 时， ，满足题意；..............................................................................................11分
综上所述：当 为定值，点 在定直线 上................................................................12分
21．（12分）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明： ．
【详解】（1）因为 ，所以 ，...........................................1分
当 时， ，函数 在 上单调递增；...................................................2分当 时，由 ，得 ，
函数 在区间 上单调递增，
由 ，得 ，函数 在区间 上单调递减．.......4分
（2）要证 ，即证 ，
即证 ，...........................................................................5分
设 ，
故 在 上单调递增，又 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，...................................................................7分
①当 时，因为 ，所以 ；............................8分
②当 时，令 ，则 ，
设 ，则 ，设 ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 即 在 上单调递增，..........................................................................................10分
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增， ，
即 ．
综上可知，当 时， ，即 ．.......................................................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）（ 2023·四川宜宾·统考一模）在平面直角坐标系 中，射线l的方程为 ，曲线
C的方程为 ．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求射线l和曲线C的极坐标方程；
(2)若射线l与曲线C交于点P，将射线 绕极点按逆时针方向旋转 交C于点Q，求 的面积．
【详解】（1）将 代入 得 ，
所以 ，所以射线l的极坐标方程为 ,.................................................................2分
将 代入 得 ,
所以曲线C的极坐标方程为 ;....................................................................................4分
（2）由题可知，可以设 ， ，..............................................................................5分
则 ， ，...............................................................................7分
所以 ,.............................................................................................................................8分
所以 ................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求实数m的取值范围．【详解】（1）由题知，当 时，原不等式即 ，
当 时，不等式为 ，解得 ；.............................................................1分
当 时，不等式为 ，恒成立；...................................................................2分
当 时，不等式为 ，解得 ，........................................................................3分
综上，不等式 的解集为 ；..................................................................................5分
（2）因为 ，...........................................................................7分
当且仅当 时不等式取等号，即 ，
所以 ，解得 ，..........................................................................................9分
所以 的取值范围是 .........................................................................................10分
