文档内容
2024 年 1 月“九省联考”考后提升卷
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.现有一组数据： ，则这组数据的第85百分位
数是( )
A.652 B.668 C.671 D.674
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义，求得 ，即可确定第85百分位数为第11个数，可得
答案.
【详解】由题意这组数共12个，则 ，
为
将这组数据从小到大排列 ，
故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671，故选：C
2.已知椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则
椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.
2.【答案】D【解析】易知等腰三角形的三边为 ;则 即有
,解得e ,故选：D.
3.已知 为数列 的前 项和，且满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题，当 时， ，当 时 ，进而分奇偶性讨论得
， 为正偶数， ， 为正奇数，再求和即可.
【详解】解：因为 ，
所以，当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以，当 为偶数时， ，故 ， 为正奇数；
当 为奇数时， ，即 ，故 ， 为正偶数；
所以 ，
故选：A4..已知 ， 为异面直线，直线 与 ， 都垂直，则下列说法不正确的是( )
A.若 平面 ，则 ，
B.存在平面 ，使得 ， ，
C.有且只有一对互相平行的平面 和 ，其中 ，
D.至少存在两对互相垂直的平面 和 ，其中 ，
【答案】A
【分析】由线面关系判断ABD；由线面垂直判定判断C；
【详解】对于A，如下图所示，在正方体中取 为 ， 为 ， 为 ，平面 为平面
，则 ， ，故A错误；
对于B，在正方体中取 为 ， 为 ， 为 ，平面 为平面 ，此时 ， ，
，故B正确；
对于C，由线面垂直的判定可知， ， ，过直线 且与 垂直的平面只有一个，过直线
且与 垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面 和 ，其中 ， ，故C
正确；
对于D，在正方体中取 为 ， 为 ， 为 ，此时平面 平面 ，平面
平面 ，即至少存在两对互相垂直的平面 和 ，其中 ， ，故D正确；故选：A.
5.某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅
球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参
赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于( )
A.70 B.140 C.252 D.504
【答案】B
【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.
【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有 种选法，
他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有 种选法，
所以此时满足题意的选法有 ，
由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有 种选法，
他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有 种选法，
所以此时满足题意的选法有 ，
.
综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于 种.故选：B
6.在棱长为1的正方体 中， 在侧面 （含边界）内运动， 在底面
（含边界）内运动，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线 与直线 所成角为30°，则 点的轨迹为圆弧B. 若直线 与平面 所成角为30°，则 点的轨迹为双曲线的一部分
C. 若 ，则 点的轨迹为线段
D. 若 到直线 的距离等于 到平面 的距离，则点 的轨迹为抛物线的一部分
【答案】C
【解析】
【分析】画出正方体 ，根据各选项的不同条件对图形进行分析并运算即可得出轨
迹问题的结论.
【详解】直线 与直线 所成角即为 ，在 中， ，∴ ，故
在以 为圆心， 为半径的圆落在侧面 内的圆弧上，A正确；
过 作 于点 （如图），设 ， ，直线 与平面 所成角即为 ，
在 中， ，从而 ，故点 的轨迹为双曲线的一部
分，故B正确；
在 中， ，从而 ，故 在以 为圆心， 为半径的圆落
在底面 内的圆弧上，C错误；到直线 的距离等于 到平面 的距离，即 到点 的距离等于 到直线 的距离，
故点 的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.
故选：C.
7.已知角 的终边上一点 的坐标为 ，则 的值为( )
A.0 B. C. D.
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求出 ，再根据两角和的正切公式展开代入化简求解.
【详解】角 的终边上一点 的坐标为
所以 ，则 ，故选：B
8.已知 ， 分别为双曲线 ： 的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一
点，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，然后利用二倍角公式结合条件可得 ，然后根据离心率
公式即得.【详解】因为 ， 为 的中点，
所以 ， ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍
（纵坐标不变），得到 的图象，则（ ）
A. 函数 是偶函数
B. x＝－ 是函数 的一个零点C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 的图象关于直线 对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先求出 的解析式，然后根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得 ，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），可得 ，
对于A选项，令 ，
则 ， ，故函数 不是偶函数，A不正确；
对于B选项，因为 ，故 是函数 的一个零点，B正确；
对于C选项，当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，
C正确；
对于D选项，因为对称轴满足 ，解得 ，
则 时， ，所以函数 的图象关于直线 对称，D正确.
故选：BCD.
10.已知z 与z 是共扼复数，以下四个命题一定是正确的是（ ）
1 2A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设 ，分别求出 ，得到A不正确；根据复数的运算，可得B
正确；根据 ，可得C正确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解．
【详解】设 ，
则 ， ，所以A不正确；
又由 ， ，所以 ，所以B正确；
由 ，所以C正确；
由 不一定是实数，所以D不一定正确.
故选：BC
11.已知定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，则下列说法一定
正确的是（ ）
A. 函数 的周期为
B. 函数 的图象关于 对称
C. 函数 为偶函数
D. 函数 的图象关于 对称
【答案】BC
【解析】【分析】由 得函数 的一个周期，由 是奇函数得函数的对称中心，
两条件结合得函数 的奇偶性.
【详解】由 ，得 ，
将 代入， ，即 ，
所以函数 的一个周期为7，A项错误；
由 是奇函数得 ，
因为 和 ，
所以 ，
即 ，所以 的图象关于 中心对称，B项正确，D项错误；
因为 ， ，
所以 ，将 代入，
得 ，即函数 为偶函数，C项正确.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知集合 ，若 ，且 ，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】【解析】
【分析】先解分式不等式，即可得出集合 ，再由 ，且 ，即可求出实数 的
取值范围.
详解】由 可得： ，解得： ，
【
所以 ，
因为 ，且 ，
所以 .
故答案为： .
13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积
分别为 和 ．若 ，则
【答案】
【分析】设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，根据圆锥的侧面积公式可
得 ，再结合圆心角之和可将 分别用 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再
根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面圆半径为 ，
则 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ，所以甲圆锥的高 ，
乙圆锥的高 ，
所以 .
14.已知数列 满足 ， ,则 的前 项积的最大值为
【答案】1
【分析】先通过递推关系推出数列的周期为 ，然后 个数为一组，分别计算 的表达
式 后进行研究.
【详解】由 可知， ， ，亦可得： ，两式相除得：
，即 ，所以数列 是以 为周期的周期数列，由 得：
.
记数列 的前 项积为 ，结合数列的周期性，当 ，则 ，记
，为了让 越大，显然需考虑 为偶数，令 ，结合指数函数的单调性，则，即 ；类似的 ，
.综上所述， 的前 项积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设函数 ， ， ，已知曲线 在点
处的切线与直线 垂直．
（1）求a的值；
（2）求 的单调区间；
【答案】（1）2 （2）答案见解析
【解析】
的
【分析】（1）利用导数 几何意义可得关于a的方程，解方程即可得出答案；
（2）对 求导，分 和 讨论 的正负，即可求出 的单调性；
【小问1详解】
的定义域为 ，
，
由于直线 的斜率为 ， . 6分
【小问2详解】
， ，
①当 时， ， 在R上单调递增；
②当 时，令 有 ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
综上所述： ， 的单调递增区间为R，
， 的单调减区间为 ， 的单调增区间为 . 13分
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、求单调区间和利用导数求解恒成立问题；本题
求解恒成立问题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.
16．（15分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得
善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社
从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，
已知高三1，2,3班分别有 的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6：7:8
(1)现从三个班中随机抽取一位同学：
(i)求该同学有购买意向的概率；
(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一
以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫
价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获
得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学
已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).
【答案】(1)(i) (2)0.75.
【分析】(1)设事件 “该同学有购买意向”,事件 “该同学来自i班”(i=1,2,3).根据全概率
公式即可求解 ,根据条件概率公式即可求解
(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为 ,每次叫价增加2元的概率为 .设叫价为 元的概率为 ,叫价出现 元的情况只有下列两种：①叫价为 元，且骰子点数大于2，其概率为
②叫价为 元，且骰子点数小于3，其概率为 .于是得到 ,构
造等比数列 ,结合累加法可求解。
【详解】(1)(i)设事件A=“该同学有购买意向”，事件Bi=“该同学来自i班”
由题意可知 ,
所以，由全概率公式可得
8分
(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为 ,每次叫价增加2元的概率为 .
设叫价为 元的概率为 ,叫价出现 元的情况只有下列两种：
①叫价为 元，且骰子点数大于2，其概率为
②叫价为 元，且骰子点数小于3，其概率为
于是得到 ,易得
由于
于是当 时,数列 是以首项为 公比为 的等比数列,故 .
于是 =
$
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75. 15分
【点睛】关键点睛：
第二问中关键是设叫价为 元的概率为 ,利用叫价为 元是在叫价为 元的基础上
再叫价1元或在叫价为( 元的基础上再叫价2元，从而确定 与 的关系，再结合数列中的
构造法和累加法即可求解.
17．（15分）如图，在多面体 中，底面 为菱形， 平面 ，
，且 为棱 的中点， 为棱 上的动点.
（1）求二面角 的正弦值；
（2）是否存在点 使得 平面 ？若存在，求 的值；否则，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在， .
【解析】
【分析】（1）连接 交于点 ，作 平面 ，以 为原点建立空间直角坐标系，利
用面面角的向量求法求解即得.
（2）利用（1）中信息，假定存在符合条件的点 ，利用空间位置关系的向量证明求解即得.
【小问1详解】
连接 交于点 ，由四边形 为菱形，得 ，过点 作 平面 ，
显然直线 两两垂直，以 为原点，直线 分别为 建立空间直角坐标系，
由 平面 ，得 ，又 ，且 ，
则 ，
，
设平面 ，平面 的法向量分别为 ，
则 ，取 ，得 ，
则 ，取 ，得 ，
设二面角 的大小为 ，则 ，
因此 ，所以二面角 的正弦值为 . 8分【小问2详解】
存在 符合题意，且 .理由如下：
令 ，而 ，棱 中点 ，
的
则 ， ， ，
若 平面 ，而平面 的法向量 ，则 ，即 ，
因此 ，解得 ，即 ，则 ，
所以在点 使得 平面 ， . 15分
18．（17分）与x轴不垂直的直线 交抛物线T: 于M、N两点，F为抛物线的焦点，
线段MN的垂直平分线交x轴于点E(3,0),已知O0(0,0),Q(4,0)且有
(1)求抛物线T的方程：
(2)过F的直线交抛物线T于A、B两点，延长AQ、BQ分别交抛物线T于C、D;G、H分别为
AB、CD的中点，求 的最小值.
【答案】（1) (2)【解析】
(1)设M ,N ,由抛物线定义可知 ,又线段MN的垂直平分线
交x轴于点E(3,0),故|ME|=|NE|,
即( = =2
因为 ,所以( ,即 ,则有 ,
即抛物线T的方程为 . 7分
（2）设
代入 得 ,则有 ,
所以 ,故
设C( ,D( ,则 解得 ,同理， ,
所以H点的横坐标为
H点的纵坐标为 ,所以 ,有 , 9分
记 ,故 ,
当 时， =0,
当 时， ,易求得 取直线OG、OH的方向向量分别为 ,
故cos 13分
当 时， ,当 时，
函数 在区间 上单调递减，最小值为 ,
所以当 时， 取到最小值为 17分
19．（17分）对于无穷数列{a }，设集合A={x|x=a ,n≥1}．若A为有限集，则称数列{a }为“T
n n n
数列”．
1
(1)已知数列{a }满足a =2,a = ，判断{a }是否为“T数列”，并说明理由；
n 1 n+1 1−a n
n
(2)设函数y=f(x)的表达式为f(x)=3|x+1|−|x+2|，数列{a }满足a =f (a )．若{a }为“T数
n n+1 n n
列”，求首项a 的值；
1
(3)设a =cos(tπn)．若数列{a }为“T数列”，求实数t的取值集合．
n n
1
【解题思路】（1）根据a =2,a = ，计算即可；（2）f(x) =f(−1)=−1，当x>−1时，
1 n+1 1−a min
n
f(x)=2x+1>x，分a =−1，a ≠−1两种情况讨即可；（3）当t为有理数时，必存在p∈Z+,q∈Z，
1 1
q [q ] (q ) q
使得t= ，则a =cos π(n+2p) =cos πn+2qπ =cos πn=a ，因此集合
p n+2p p p p n
A={x|x=a ,n∈N∗}中元素个数不超过2p，为有限集；t为无理数时，用反证法证明a ≠a 解决即
n m n
可.1
【解答过程】（1）因为a =2,a = ，
1 n+1 1−a
n
1 1 1 1 1
a = =−1,a = = ,a = =2,a = =−1
所以 2 1−2 3 1+1 2 4 1 5 1−2 ，
1−
2
{ 1 }
所以A={x|x=a ,n∈N∗}= −1, ,2 ，所以{a }是“T数列”； 5分
n 2 n
（2）由题知，f(x)=3|x+1|−|x+2|=¿，
所以f(x) =f(−1)=−1，
min
当x>−1时，f(x)=2x+1>x(∗)，
因此当a =−1时，a =f (a )=−1,a =f (a )=−1,⋯，
1 2 1 3 2
即a =−1,n∈N∗，此时{a }为“T数列”，
n n
当a ≠−1时，a =f (a )>−1，
1 2 1
由(∗)得a =f (a )>a >−1,a =f (a )>a >−1，...，
3 2 2 4 3 3
因此a >a ,{a }显然不是“T数列”；
n+1 n n
综上，a =−1； 9分
1
q
（3）当t为有理数时，必存在p∈Z+,q∈Z，使得t= ，
p
[q ] (q ) q
则a =cos π(n+2p) =cos πn+2qπ =cos πn=a ，
n+2p p p p n
因此集合A={x|x=a ,n∈N∗}中元素个数不超过2p，为有限集；
n
当t为无理数时，对任意m,n∈N∗,m≠n，下用反证法证明a ≠a ，
m n
若a =a ，即costπn=costπm，
m n
则tπn=tπm+2kπ或tπn=−tπm+2kπ，其中k∈Z，
2k 2k
则t= ∈Q或t= ∈Q，矛盾，所以a ≠a ，
n−m n+m m n
因此集合A={x|x=a ,n∈N∗}必为无限集；
n
综上，t的取值集合是全体有理数，即t∈Q． 17分
