2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题（原卷版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2024 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）
数学试题
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
2. 椭圆
x2
+ y2 =1(a >1)的离心率为 1 ，则a =（ ）
a2 2
2 3
A. B. 2 C. 3 D. 2
3
3. 记等差数列 { a } 的前n项和为S ,a +a =6,a =17，则S =（ ）
n n 3 7 12 16
A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
4. 设α,β是两个平面，m,l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若α⊥β,m∥α,l∥β，则m⊥l B. 若m⊂α,l ⊂β,m∥l，则α∥β
C. 若αβ=m,l∥α,l∥β，则m∥l D. 若m ⊥α,l ⊥β,m∥l，则α⊥β
5. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种

6. 已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点，点P满足QP =( 1,−3 )，记P的轨迹为E，则（ ）
A. E是一个半径为 5的圆 B. E是一条与l相交的直线
C. E上的点到l的距离均为 5 D. E是两条平行直线
3π   π 1+sin2θ
7. 已知θ∈  ,π,tan2θ=−4tan θ+ ，则 =（ ）
 4   4 2cos2θ+sin2θ
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学科网（北京）股份有限公司1 3 3
A. B. C. 1 D.
4 4 2
x2 y2
8. 设双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F ，过坐标原点的直线与C交于A,B两点，
a2 b2 1 2
 
FB =2 FA,F A⋅F B =4a2，则C的离心率为（ ）
1 1 2 2
A. 2 B. 2 C. 5 D. 7
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
 3π  3π
9. 已知函数 f ( x )=sin2x+  +cos2x+ ，则（ ）
 4   4 
 π
A. 函数 f x−  为偶函数
 4
B. 曲线y = f ( x ) 的对称轴为x=kπ,k∈Z
π π
( )
C. f x 在区间 , 单调递增
3 2
( )
D. f x 的最小值为−2
10. 已知复数z,w均不为0，则（ ）
z z2
A. z2 =| z|2 B. =
z |z|2
z z
=
C. z−w= z−w D.
w w
1
11. 已知函数 f ( x ) 的定义域为R，且 f   ≠0，若 f ( x+ y )+ f ( x ) f ( y )=4xy，则（ ）
2
 1 1
A. f  −  =0 B. f   =−2
 2 2
 1  1
C. 函数 f x− 是偶函数 D. 函数 f x+ 是减函数
 2  2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知集合A={−2,0,2,4 } ,B= { x x−3 ≤m } ，若AB = A，则m的最小值为__________．
13. 已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值
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学科网（北京）股份有限公司是__________，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是__________．
14. 以 maxM 表 示 数 集 M 中 最 大 的 数 ． 设 0<a<b<c<1 ， 已 知 b≥2a 或 a+b≤1 ， 则
max { b−a,c−b,1−c } 的最小值为__________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 f ( x )=lnx+ x2 +ax+2在点 ( 2,f ( 2 )) 处的切线与直线2x+3y =0垂直．
（1）求a；
( )
（2）求 f x 的单调区间和极值．
16. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
( )
（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望E X ．
17. 如图，平行六面体ABCD−ABC D 中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，O为AC与BD的交点，
1 1 1 1
AA =2,∠CCB =∠CCD,∠CCO =45°．
1 1 1 1
（1）证明：CO⊥平面ABCD；
1
（2）求二面角B−AA −D的正弦值．
1
18. 已知抛物线C: y2 =4x的焦点为F ，过F 的直线l交C于A,B两点，过F 与l垂直的直线交C于D,E
两点，其中B,D在x轴上方，M,N 分别为AB,DE的中点．
（1）证明：直线MN 过定点；
（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求GMN 面积的最小值．
19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设 p是素数，集合X ={ 1,2,,p−1 } ，若u,v∈X,m∈N，记u⊗v
为 uv 除以 p 的余数， um,⊗ 为 um 除以 p 的余数；设 a∈X ，1,a,a2,⊗,,ap−2,⊗ 两两不同，若
an,⊗ =b ( n∈{ 0,1,,p−2 }) ，则称n是以a为底b的离散对数，记为n =log(p) b．
a
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 p =11,a =2，求ap−1,⊗；
（2）对m ,m ∈{ 0,1,,p−2 } ，记m ⊕m 为m +m 除以 p−1的余数（当m +m 能被 p−1整除时，
1 2 1 2 1 2 1 2
m ⊕m =0）．证明：log(p) ( b⊗c )=log(p) b⊕log(p) c，其中b,c∈X ；
1 2 a a a
（3）已知n =log(p) b．对x∈X,k∈{ 1,2,,p−2 } ，令y =ak,⊗,y = x⊗bk,⊗．证明：
a 1 2
x = y ⊗
yn(p−2),⊗．
2 1
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