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1.3 空间向量及其运算的坐标表示 -提高练
一、选择题
1．（2020宁夏贺兰县景博中学高二月考）已知 ， ，则 与 ( )
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
【答案】A
【解析】 ， ， .故选： .
2．（2020·南昌市八一中学高二期末（理））设 ，向量
且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【解析】 , ,
, ,故选C.
3．（2020·全国高二）在空间直角坐标系 中， ， 为 的中点，
为空间一点且满足 ，若 ，，则 （ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】D
【解析】设 ， ， ， ，
，由 ，整理可得： ，由 ，得 ，化简得 ，
以上方程组联立得 ，则 .
4．（2020·江西省高安中学高二期中）已知 ， ， ，点 在直线
上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，因为点 在直线 上运动，所以 ，
所以 ，即 ， ，所以 ，所以
，所以当 时， 取得最小值，此时点 的坐标为 .
5.（多选题）（2020江苏省高二期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若 ＝(﹣2，1，4)，
＝(1，﹣2，1)， ＝(4，2，0)，则（ ）
A．AP⊥AB B．AP⊥ BP C．BC＝ D．AP// BC
【答案】AC
【解析】因为 ，故A正确； ， ，故B不正确；
， ，故C正确； ， ，各个对应分量的比例不同，故D不正确。故选:AC.
6．（多选题）（2020山东章丘四中高二月考）已知四棱柱 为正方体．则下列结论正确
的是（ ）．
A．
B．
C．向量 与向量 的夹角是
D．正方体 的体积为
【答案】ABC
【解析】不妨设正方体的棱长为1，以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
，则各点坐标为 ， ， ， ， ， ，
因为 ，
所以 ； ．故A正确．
因为 ， ，所以 ．故B正确．
因为 ， ，所以 ， ， ，所以，所以向量 与向量 的夹角是 ，故C正确．
因为 ，所以 ，所以
故D错误．故选：ABC．
二、填空题
7.（2020广西龙胜县龙胜中学高二开学考试）已知点A,B,C的坐标分别(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1)，点P的坐标
为 ，若PA⊥AB,PA⊥AC，则点P的坐标为_______.
【答案】
【解析】由已知得 ，
由题意得 即 ，解得 ， .
8．（2020湖南省茶陵三中高二月考）已知向量 ，若
，则 与 的夹角为______________.
【答案】
【解析】设 向量 ，
， ，设 与 的夹角为 ，
， ，故答案为 .
9．已知 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．则 的面积为_____________， 中 边上的高为____________.
【答案】 ； .
【解析】由已知得 ,
∴ , ,
.
∴
设 边上的高为 ,则 .
10．（2020·山东省济南外国语学校高二月考）如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，∠BAC=90°，
1 1 1
AB=AC=AA =2，点G与E分别是AB 和CC 的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若
1 1 1 1
GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为______________.
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),F(x,0,0),D(0,y,0)，则 , ，由于GD⊥EF，
所以 ，所以 ，
故 ，
所以当 时，线段DF长度取得最小值，且最小值为 ．
三、解答题
11.如图， ，原点 是 的中点，点 的坐标为 ， ， ，点 在平面 上，且
， ．
（1）求向量 的坐标．
（2）求 与 的夹角的余弦值．【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）过 作 于 ，
则 ， ，
所以 的坐标为 ，
又因为 ，所以 ．
（2）依题设有 点坐标为 ，所以 ， ，
则 与 的夹角的余弦值为 ．
12．（2020·吴起高级中学高二月考）已知空间三点 ，设
.
（1） 的夹角 的余弦值；
（2）若向量 互相垂直，求实数 的值；（3）若向量 共线，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） 或 .
【解析】（1）已知空间三点 ，
（2）若向量 互相垂直，又 ，则
,解得： 或
（3）向量 共线，又
当 时，
当 时， ，成立，
当 时， ，不成立，
故： 或
