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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1) -A基础练
一、选择题
1.若O为坐标原点,⃗OA=(1,1,-2),⃗OB=(3,2,8),⃗OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为( )
√165 √53
A. B.2√14 C.√53 D.
2 2
【答案】D
【解析】∵⃗OP= 1 (⃗OA+⃗OB)= 1 (4,3,6)= ( 2, 3 ,3 ) ,⃗OC=(0,1,0),
2 2 2
∴⃗PC=⃗OC-⃗OP= ( -2,- 1 ,-3 ) ,∴|⃗PC|= √ 4+ 1 +9= √53 .
2 4 2
2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为(
)
8 10
A.10 B.3 C. D.
3 3
【答案】D
|⃗PA·n| |-2-4-4| 10
【解析】由题意可知⃗PA=(1,2,-4).设点P到平面α的距离为h,则h= = = .
|n| √4+4+1 3
3．（2020山东潍坊高二期末）已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC
的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0）， ＝（1，0，0）， ＝（﹣1，2，﹣2），
∴点A到直线BC的距离为：d＝| | ＝1× ＝ ．
4.在棱长为a的正方体ABCD-A BC D 中,M是AA 的中点,则点A 到平面MBD的距离是( )
1 1 1 1 1 1
√6a √3a √3a √6a
A. B. C. D.
6 6 4 3【答案】A
( a)
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),M a,0, ,B(a,a,0),A(a,0,a),
2 1
( a)
∴⃗DM= a,0, ,⃗DB=(a,a,0),⃗D A =(a,0,a).
2 1
{n·⃗DM=0, { ax+ a z=0,
设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则 即 2
n·⃗DB=0,
ax+ay=0,
令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴点A 到平面MBD的距离d=|⃗DA ·n| |a-2a| √6a.
1 1 = =
|n| √6 6
5．（2020全国二高课时练）已知空间直角坐标系 中有一点 ，点 是平面 内的
直线 上的动点，则 ， 两点的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点 是 平面内的直线 上的动点, 所以可设点 ，由空间两点之间
的距离公式,得 ,令
,当 时, 的最小值为 ,所以当 时, 的最小值为
,即 两点的最短距离是 ,故选B.6．（多选题）（2020福建省高二期末）在正方体 中， ， 分别是 和 的中
点，则下列结论正确的是( )
A． 平面 B． 平面
C． D．点 与点 到平面 的距离相等
【答案】AC
【解析】对A,因为 , 分别是 和 的中点故 ,故 平面 成立.
对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体 边长为2则 ，
.故 .故 不互相垂直.又 属于平面 .故 平
面 不成立. 对C,同B空间直角坐标系有 ,
.故 成立.
对D,点 与点 到平面 的距离相等则点 与点 中点 在平面 上.连接 易得平面
即平面 .又点 与点 中点 在 上,故点 不在平面 上.故D不成立.故选AC
二、填空题
7．（2020浙江省高二期中）空间直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点坐标是______，______.
【答案】 ；
【解析】①空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点坐标横坐标不变，纵坐标和竖坐标分别与
的纵坐标和竖坐标互为相反数即 ；
②利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求得 .
故答案为：① ；②
8.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离
为 .
13
【答案】
5
【解析】如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴⃗PB=(3,0,-1), ⃗BD=(-3,4,0),∴点P到直线BD的距离
d= √ |⃗PB|2- |⃗PB·⃗BD| 2 = √ 10- ( - 9) 2 = 13,∴点P到直线BD的距离为 13 .
|⃗BD| 5 5 5
9.正方体ABCD-A BC D 的棱长为4,M,N,E,F分别为AD,AB,C D,BC 的中点,则平面AMN与平面EFBD
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
的距离为 .8
【答案】
3
【解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,
则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).
∴⃗EF=(2,2,0),⃗MN=(2,2,0),⃗AM=(-2,0,4),⃗BF=(-2,0,4),∴⃗EF=⃗MN,⃗BF=⃗AM,
∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.
设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,则{n·⃗MN=2x+2y=0, 解得{ x=2z,
n·⃗AM=-2x+4z=0, y=-2z.
取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).
平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.
|n·⃗AB| 8
∵⃗AB=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD间的距离d= = .
|n| 3
10．（2020山东泰安一中高二月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥
平面ABCD，AB＝2，PA＝ ，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD，点B到平面AEF的距离为 ．
【答案】【解析】∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝2，PA＝ ，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD，
∴A（0，0，0），B（ ，﹣1，0），E（ ），P（0，0， ），D（0，2，0），
设F（a，b，c）， ，则（a，b，c﹣ ）＝（0，2λ，﹣ ），
解得a＝0，b＝2λ，c＝ ，∴ ＝（0，2λ， ）， ＝（0，2，﹣ ），
∵AF⊥PD，∴ ＝4λ﹣ ，解得 λ＝ ，∴ ＝（ ）， ＝（
）， ＝（0， ， ），设平面AEF的法向量 ＝（x，y，z），则 ，取y＝
，得 ＝（0， ），∴点B到平面AEF的距离为：d＝ ＝ ．
三、解答题
11.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=4,E是PA的中点,求
PC与平面BED的距离,并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系.
【解析】以A为原点,AB所在直线为x轴,△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建
立空间直角坐标系,如图所示,则F为CD的中点,A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2√3,0),C(2,2√3,0),D(-2,2√3,0),P(0,0,4),E(0,0,2).
设平面BED的一个法向量为n=(x,y,z),
由⃗BE=(-4,0,2),⃗DE=(2,-2√3,2),
z
{ x= ,
得{n·⃗BE=0, {-4x+2z=0, 即 2
∴
n·⃗DE=0, 2x-2√3 y+2z=0, √3z
y= ,
2
取z=2,则x=1,y=√3,得n=(1,√3,2).
∵⃗PC=(2,2√3,-4),∴n·⃗PC=2+6-8=0,
∴n⊥⃗PC,故PC∥平面BED,
∴PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.
|⃗EP·n| 4
∵⃗EP=(0,0,2),∴点P到平面BED的距离d= = =√2,
|n| √1+3+4
即PC到平面BED的距离为√2,且直线PC上各点到平面BED的距离都相等.
12. （2019•全国高考新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD﹣ABC D 的底面是菱形，AA＝4，AB＝2，
1 1 1 1 1
∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
1
【解析】解法一：
证明：（1）连结BC，ME，∵M，E分别是BB，BC的中点，
1 1
∴ME∥BC，又N为AD的中点，∴ND＝ AD，
1 1 1由题设知AB DC，∴BC AD，∴ME ND，
1 1 1 1
∴四边形MNDE是平行四边形，MN∥ED，
又MN⊄平面C DE，∴MN∥平面C DE．
1 1
解：（2）过C作C E的垂线，垂足为H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C C，
1 1
∴DE⊥平面C CE，故DE⊥CH，
1
∴CH⊥平面C DE，故CH的长即为C到时平面C DE的距离，
1 1
由已知可得CE＝1，CC ＝4，
1
∴C E＝ ，故CH＝ ，
1
∴点C到平面C DE的距离为 ．
1
解法二：
证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣ABC D 的底面是菱形，
1 1 1 1
AA＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1 1
∴DD ⊥平面ABCD，DE⊥AD，
1
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系，
1
M（1， ，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0， ，0），C （﹣1， ，4），
1
＝（0，﹣ ，0）， ＝（﹣1， ）， ＝（0， ），
设平面C DE的法向量 ＝（x，y，z），
1
则 ，取z＝1，得 ＝（4，0，1），
∵ • ＝0，MN⊄平面C DE，∴MN∥平面C DE．
1 1
解：（2）C（﹣1， ，0）， ＝（﹣1， ，0），平面C DE的法向量 ＝（4，0，1），
1
∴点C到平面C DE的距离：d＝ ＝ ＝ ．
1
