文档内容
2.2 基本不等式
1. 利用基本不等式比较大小；2. 变形技巧：“1”的代换；3. 证明不等式；4. 不等式的证明技巧—字母轮
换不等式的证法；5. 求参数的取值范围问题；6.求最大（小）值；7.均值不等式在实际问题中的应用
一、单选题
1．（2020·浙江高一单元测试）若 ，则下列结论中不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 ，所以 所以 ， 即 ，故A，B正确.
因为 ，所以 ，所以 故C正确.
当 时， ，故D错误.
故选：D
2．（2020·全国高一课时练习）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，所以 ，
又由基本不等式可得： ，所以 ，又 ，所以 ，
因此 .
故选：C.
3．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中高一期末）已知x，y＞0且x+4y=1，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】
且 ，
∴
当且仅当 时，等号成立．
∴ 的最小值为9．
故选：B．
4．（2020·浙江高一单元测试）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆
客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最
大，则每辆客车应营运
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年【答案】C
【解析】
可设y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1．
即y=－x2+12x－25，∴ =12－(x+ )≤12－2 =2，当且仅当x=5时取等号. 故选C．
5．（2020·浙江鄞州·宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数 ， ， ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵ ， ，
∴
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选B
6．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x的不等式 在 上恒成立，则实
数a的最小值为 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设 ， ，
在 上恒成立，需 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
.
故选：D.
7．（2020·广西兴宁·南宁三中高一期末）已知 ， ， ，且 ， ，则
的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
由 知， ， ，
，
当且仅当 时取等号.
故 的最小值为4
故选：B
8．（2020·皇姑·辽宁实验中学高三其他（文））已知实数 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【解析】
原式可化为： ，解得 ，当且仅当 时成立．所以
选B.
9．（2020·河南高二期末（理））设 为任意正数．则 这三个数（ ）
A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
【答案】C
【解析】
假设三个数均小于2，即 ，故 ，
而 ，
当 时等号成立，这与 矛盾，
故假设不成立，故至少有一个不小于2，C正确；
取 ，计算排除BD；取 ，计算排除A.
故选：C.
10．（2020·浙江金华·高一期末）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ， ，由基本不等式可得， ，当且仅当 时等
号成立．故选：B．
二、多选题
11．（2020·浙江高一单元测试）已知函数 ，则该函数的（ ）．
A．最小值为3 B．最大值为3
C．没有最小值 D．最大值为
【答案】CD
【解析】
， 函数 ，当且仅当 时取
等号， 该函数有最大值 ．无最小值．
故选：CD．
12．（2020·海南高二期末）已知实数 、 满足 ，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
因为 ，于是 ，A项不成立；
由 得 ，B项正确；
由基本不等式可知 ，因为 ，所以等号取不到，所以C项正确；当 ，
时，D项不成立.
故选：BC.
13．（2020·山东德州·高三二模）若正实数a，b满足 则下列说法正确的是（ ）A．ab有最大值 B． 有最大值
C． 有最小值2 D． 有最大值
【答案】AB
【解析】
对A, ,当且仅当 时取等号.故A正确.
对B, ,故 ,当且仅当 时取等号.故B
正确.
对C, .当且仅当 时取等号.所以 有
最小值4.故C错误.
对D, ,即 ,故 有最小值 .故D错
误.
故选：AB
14．（2019·山东泰山·泰安一中高一期中）设 ， ，给出下列不等式恒成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
设 ， ，， 成立，
， 不成立
，当且仅当 即 时取等号，故 成立，
， ， ，当且仅当 ， 即 时取等号，故 成立，
故选： ．
三、填空题
15．（2020·浙江高一单元测试）已知 ，则 的最小值为______．
【答案】 ．
【解析】
用“1”的代换法配凑出定值，然后用基本不等式得最小值．
，
当且仅当 ，解得 ，
又因为 ，所以 时等号成立．
故答案为： ．
16．（2020·全国高一）若 ，则“ ”是 “ ”的_____条件
【答案】充分不必要
【解析】当 时，由基本不等式，可得 ，
当 时，有 ，解得 ，充分性是成立的；
例如：当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为充分不必要条件.
17．（2020·全国高一）若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．
【答案】4
【解析】
若实数 满足 ,
则 ,
当且仅当 时,上式取得最小值4
故答案为：4
四、双空题
18．（2019·全国高一课时练习）若 ，则 的最小值是______，此时 ______.
【答案】9
【解析】
因为 ，即
所以
当且仅当 即 时取等号．故第一空填9，第二空填
19．（2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）用一根长为 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的
框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________ ；高为________ .
【答案】 3
【解析】
设窗户的宽为 ，则其高为 ，要使阳光充足，只要面积最大，
，当且仅当 时等号成立，这时高为 .
故答案为：(1). (2). 3
用基本不等式求最值问题:已知 ，则：
(1)如果积 是定值 ，那么当且仅当 时， 有最小值是 .(简记：积定和最小)
(2)如果和 是定值 ，那么当且仅当 时， 有最大值是 .(简记：和定积最大)
20．（2020·浙江金华·高一期中）已知正数a，b满足a+b=1，则 的最小值等于__________ ，此时
a=____________.
【答案】3
【解析】
根据题意，正数a、b满足 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为3，此时 .
故答案为：3； .
21．（2017·北京人大附中高一期中）已知正数 、 满足 ，则：
（1） 的最小值为________．
（2）若 恒成立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
(1)因为正数 ､ 满足 ,
所以 ,当且仅当 时取等号,
所以 ;
(2)因为正数 ､ 满足 ,
,当且仅当 ,即 时取等号,
所以 ;
故答案为:
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）已知a，b，c为任意实数，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
∵ ， ，∴ ．
即 ．当且仅当 时，等号成立．
23．（2020·全国）设 ， ， 都是正数，求证： ．
【答案】详见解析
【解析】
证明：∵ ， ， 都是正数，
∴由重要不等式可得：
①，当且仅当 时等号成立，即 ；
②，当且仅当 时等号成立，即 ；
③，当且仅当 时等号成立，即 ；
∴① ② ③得：∴ ；当且仅当 时等号成立.
24．（2020·全国高一课时练习）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： .
【答案】证明见解析
【解析】
证明：法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋ ＝1＋ ＝2＋ ，同理1＋ ＝2＋ ，
故 .
所以 （当且仅当 时取等号）.
法二： ，
因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤ ，于是 ， ，
因此 （当且仅当 时取等号）.
25．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少
时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
【答案】矩形的长、宽都为 时，所用篱笆最短，最短篱笆为 .
【解析】
设矩形菜园的长为 ，宽为 ，则 ，篱笆的长为 .由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
因此，这个矩形的长、宽都为 时，所用篱笆最短，最短篱笆为 .
4
26．（2020·浙江高一单元测试）(1)已知x>3，求y=x+ 的最小值，并求取到最小值时x的值；
x-3
x y
(2)已知x>0，y>0， + =2，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．
2 3
【答案】(1)当x=5时，y的最小值为7．(2) x=2，y=3时，xy的最大值为6．
【解析】
(1)已知x>3，
则：x-3>0，
4 4 √ 4
故：y=x+ =x-3+ +3≥2 (x-3) +3=7，
x-3 x-3 (x-3)
4
当且仅当：x-3= ，
x-3
解得：x=5，
即：当x=5时，y的最小值为7．
x y
(2)已知x>0，y>0， + =2，
2 3
x y √xy
则： + ≥2 ，
2 3 6
解得：xy≤6，
x y
即： = =1，
2 3
解得：x=2，y=3时，xy的最大值为6．
27．（2020·浙江高一单元测试）已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数m的
取值范围．
【答案】 .【解析】
由 ，则 ．
当且仅当 即 时取到最小值16．
若 恒成立，则 ．
