专题01五大类解三角形题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（原卷版）_2024年4月_01按日期_16号

专题 01 五大类解三角形题型-2024 年高考数学大题秒杀技巧 及专项训练（原卷版） 【题型1 三角形周长定值及最值】 【题型2 三角形涉及长度最值问题】 【题型3 三角形涉及中线长问题】 【题型4 三角形涉及角平分线问题】 【题型5 三角形面积最值问题】 三角形周长定值及最值 ：已知一角与两边乘积模型 第一步：求两边乘积 第二步：利用余弦定理求出两边之和 ：已知一角与三角等量模型 第一步：求三角各自的大小 第二步：利用正弦定理求出三边的长度 最值步骤如下： 第一步：先表示出周长 l=a+b+c a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 第二步：利用正弦定理 将边化为角 第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求 的周长．在 中，角 的对边分别为 ， . （1）求 ； （2）若 ， ，求 的周长. 在 中,角 的对边分别为 . (1)求 ; (2)若 ,且 ,求 的周长. 在 中， ，且 （1）求 ； （2）若 ，求 的周长.1．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ． (1)证明： 是锐角三角形； (2)若 ，求 的周长． 2． 的内角 的对边分别为 ． (1)求 ； (2)若 ，求 的周长最小值． 3．已知函数 的最小正周期为 ． (1)求 的值； (2)已知 分别为 中角 的对边，且满足 ，求 的周长 的最大值． 4． 的内角A， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . (1)求 ； (2)若 ， 的面积为 ，求 的周长. 5．在锐角 中， ， ， (1)求角A； (2)求 的周长l的范围.6．记 的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ． (1)求a； (2)若 ，求 的周长l的取值范围． 7．设 的内角 所对边分别为 ，若 ． (1)求 的值; (2)若 且三个内角中最大角是最小角的两倍，当 周长取最小值时，求 的面积． 8．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的周长l的取值范围． 三角形涉及长度最值问题 解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制， 通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值在 中，角 所对的边分别为 .若 . (1)求 ； (2)若 为锐角三角形，求 的取值范围. 在 中，已知 ，且 . (1)试确定 的形状； (2)求 的值． 已知函数 .在锐角 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 . (1)求A的值； (2)若 ，求 的取值范围. 在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 (1)求角A的大小； (2)当 时，求 的取值范围.已知 为锐角三角形，角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的取值范围. 1．在锐角三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． (1)求角B的值； (2)若 ，求 的取值范围． 2．已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 ． (1)求角 的大小； (2)已知 是 的中线，求 的最小值． 3．在锐角 中，已知 . (1)求 ； (2)求 的取值范围.(cid:5)   4．已知在锐角三角形 ABC中，边 a ，b，c对应角A,B,C，向量m 2cosA, 3 ， (cid:5)   π  nsinA ,cos2A，且(cid:5) 与(cid:5)垂直， ．   3  m n c2 (1)求角A； (2)求ab的取值范围． 5．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 3asinBbcosAb. (1)求A； (2)若a2，求b2c的范围. 6．已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosBCacosA2 3csinBcosA0． (1)求A； (2)若ABC外接圆的直径为2 3，求2cb的取值范围． 7．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosBbcosAac0. (1)求B的值； (2)若M 为AC的中点，且ac4，求BM 的最小值. 8．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中sinB2sinA，c2a1． (1)若a3，求ABC的面积； (2)若ABC为钝角三角形，求a的取值范围．三角形涉及中线长问题 ①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值） 如：在 ΔABC 与ΔABD 同用 cosB 求 AD AB2 +AC2 =AD2 +CD2 2 ②中线长常用方法 cos∠ADB+cos∠ADC=0 ③已知 AB+AC ，求 AD 的范围 ∵ AB+AC 为定值，故满足椭圆的第一定义 ∴半短轴¿AD＜半长轴 中， ， ， ，则 边上的中线 长_______. 在 中， ， ． 边上的中线 ，则 _____． 中， ，则 边上中线 的长为_____．1．已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 ． (1)求角 的大小； (2)已知 是 的中线，求 的最小值． 2．在① ；② ；③ ；这三个条 件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为 的面积）. 问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线 ，求 的面积的最大值. 3．在 中， (1)若 ，求 的面积； (2)求 边上的中线 的取值范围． 4．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)若 ，求B； (2)若 ，求 边上的中线 的长． 5．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． (1)求A； (2)若 ，求 中BC边中线AD长．6．在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ． ① ；② ；③ ． 在以上三个条件中选择一个，并作答． (1)求角 ； (2)已知 的面积为 ， 是 边上的中线，求 的最小值． 7．记 的内角 的对边分别为 ，面积为 ，已知 . (1)求 的值； (2)若 边上的中线 ，求 周长的最小值. 8．已知 中，角 所对的边长分别为 ，且 ， 为 边上一点，且 . (1)若 为中线，且 ，求 ； (2)若 为 的平分线，且 为锐角三角形，求 的取值范围. 三角形涉及角平分线问题 张角定理 如图，在 ΔABC 中，D为 BC 边上一点，连接 AD ,设 AD=l ， ∠BAD=α,∠CAD=β sin(α+β) sinα sinβ = + l b c 则一定有1 1 1 bcsin(α+β)= clsinα+ blsinβ S =S +S 2 2 2 证明过程：∵ ΔABC ΔABD ΔACD∴ 1 sin(α+β) sinα sinβ bcl = + 2 l b c 同时除以 得 在 中，角 所对的边分别为 ， ， BD⊥BC 交 于点D，且 ， 则 的最小值为________． 在 中，角 所对的边分别为 ，点D在 BC 边上， ， AD⊥AC ， ，则 的长为________． 已知在 中，角 所对的边分别为 . 为 上一点且 则 的最小值为__________ .在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为______． 1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且 ． (1)求证： ； (2)若 的平分线交AC于D，且 ，求线段BD的长度的取值范围． 2．如图,在 中, 的平分线交 边于点 ,点 在 边上, , , . (1)求 的大小; (2)若 ,求 的面积. 3．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ． (1)求 ； (2)若角 的平分线 交 于点 ，且 ，求 面积的最小值．4．在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 . (1)求角 的大小； (2)若 ， 的平分线交 于点 ，求线段 长度的最大值. 5．已知 中，内角 所对的边分别为 ，且 . (1)若 的平分线与边 交于点 ，求 的值； (2)若 ，点 分别在边 上， 的周长为5，求 的最小值. 6．如图，在平面四边形 中， ， ， 的平分线交 于点 ，且 ． (1)求 及 ； (2)若 ，求 周长的最大值． 7． 中，角 的对边分别为 ， 的平分 线交 边于 ，过 作 ，垂足为点 . (1)求角A的大小； (2)若 ，求 的长. 8．已知条件：① ；② ；③ .从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在 中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，满足：____. (1)求角C的大小； (2)若 ， 与 的平分线交于点I，求 周长的最大值. 三角形面积最值问题 ：面积最值问题 技巧：正规方法：面积公式+基本不等式 { S= 1 absinC c2 2 ⇒a2 +b2 =2abcosC+c2 ≥2ab⇒ab≤ 2(1−cosC) a2 +b2 −c2 =2abcosC ① { S= 1 acsinB b2 2 ⇒a2 +c2 =2accosB+b2 ≥2ac⇒ac≤ 2(1−cosB) a2 +c2 −b2 =2accosB ② { S= 1 bcsinA a2 2 ⇒b2 +c2 =2bccosA+a2 ≥2bc⇒bc≤ 2(1−cosA) b2 +c2 −a2 =2bccosA ③ 秒杀方法： 在 ΔABC 中，已知 B=θ , AC=x 2 (AB+BC) max S = ⋅sinB 则： ΔABCmax 8 x 其中 (AB+BC) max =2R⋅ √m2 +n2 +2mncosθ m,n分别是 BA、BC 的系数 2R= sinθ 三角形面积公式 1 1 1 S = absinC,S = acsinB,S = bcsinA ΔABC 2 ΔABC 2 ΔABC 2 ① 1 1 S = r(a+b+c)= rl ΔABC 2 2 r,l ΔABC ΔABC ② 其中 分别为 内切圆半径及 的周长 ΔABC ΔABC 推导：将 分为三个分别以 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式 abc S =2R2sinAsinBsinC= ③ ΔABC 4R （R为 ΔABC 外接圆的半径） 1 sinBsinC 推导：将 a=2RsinA 代入 S ΔABC = 2 a2 sinA 可得 S ΔABC =2R2sinAsinBsinC a=2RsinA,b=2RsinB，c=2RsinC S =2R2sinAsinBsinC 将 代入 ΔABC abc S = ΔABC 4R 可得 1 sinBsinC 1 sinAsinC 1 sinAsinB S = a2 ,S = b2 ,S = c2 ΔABC 2 sinA ΔABC 2 sinB ΔABC 2 sinC ④ 1 p= (a+b+c) S =√p(p−a)(p−b)(p−c) 2 ⑤海伦公式 ΔABC （其中 ） a2 +b2 −c2 cosC= 2ab 推导：根据余弦定理的推论 1 1 1 √ (a2 +b2 −c2 ) 2 ∴S = absinC= ab√1−cos2C= ab 1− ΔABC 2 2 2 2ab ⇒ 1 √ (2ab) 2 −(a2 +b2 −c2) 2 = 1 √(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c) 4 4 1 p= (a+b+c) 2 S =√p(p−a)(p−b)(p−c) 令 ，整理得 ΔABC 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 的面积为（ ） 在 ，角 ， ， 的边分别为 ， ， ，且 ， ， ，则 的内切圆的半径为（ ）已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， 的面积等于 ，则 外接圆的面积为（） 在 ΔABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 B=600 , AC=3 ，则 ΔABC 的面积最大值为 _____________ 中，角 的对边分别为 ，且 ， ，则 面积的 最大值为（ ） 1． 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且 . (1)求 ； (2)已知 ，求 的取值范围.2．如图，在四边形 中， ， ，且 的外接圆半径为4. (1)若 ， ，求 的面积； (2)若 ，求 的最大值. 3．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ． (1)求 ； (2)若角 的平分线 交 于点 ，且 ，求 面积的取值范围． 4．在 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ． (1)求角A的大小； (2)若 的周长为6，求 面积S的最大值． 5．已知 中内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ， ． (1)求 ； (2)若 边上一点 ，满足 且 ，求 的面积最大值．6．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足 . (1)求角 ； (2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求 ABC面积的最小值. △ 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，其中， ． (1)求角B的大小； (2)若 ，求△ABC面积的最大值． 8．已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，点 、 在边 上， ，求 面积的最小值.