专题02五大类数列题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（原卷版）_2024年4月_01按日期_16号

专题 02 五大类数列题型-2024 年高考数学大题秒杀 技巧及专项训练（原卷版） 【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】 【题型2 裂项相消巧妙变形问题】 【题型3 分组求和必记常见结论】 n (−1) 【题型4 含 类求和问题】 【题型5 含绝对值求和问题】 数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下： a a  f (n) n1 n 当高考数列大题出现《 与 》或《 与 》递推关系且关系式中系数为1时，应 遵循以下步骤 第一步：作差 第二步：列举 第三步：求和 →简称《知差求和》 注意：列举时最后一项必须是 已知{ }的首项， ， （nN*）求 通项公式。 a  ka b n1 n当高考数列大题出现《 与 》或《 与 》递推关系且关系式中系数不为1时， 应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的 通项 第四步 反解 →简称《构造法》 结论: 已知数列 中, , ,求 的通项公式. 当高考数列大题出现《 与 》或《 与 》递推关系，关系式中系数不为1且还 存在n时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步： 求新数列的通项 第四步 反解 →简称《构造法》 结论: 1 已知： ， 时，a  a 2n1，求 的通项公式。 a 1 n 2 n 2 n1 {a } 1 n当高考数列大题出现《 与 》或《 与 》递推关系，关系式中系数不为1且还 存在指数时，应遵循以下步骤 第一步：等式两边直接同除以 第二步：寻找新的 数列 第三步：秒求所配系数 第四步：寻找新的等比数列 第五步：求新数列的通项 第六 步 反解 →简称《直接除+构造法》 结论 ： 已知 {a } 中，a 1，a  2a  2n （ ）求 a 。 n 1 n n1 n 2 n a =pa +qa n+2 n+1 n a =A⋅a +B⋅a a +λa =β⋅(a +λa ) n+2 n+1 n型，可化为 n+2 n+1 n+1 n 的形式。 待定系数法，其中 a a =−1,a =2 a =5a −6a a 在数列{ n}中， 1 2 ，当n∈N， n+2 n+1 n ① 求通项公式 n.题型1 错位相减求和无需错位直接出答案 错位相减； 形式必须是 则 S =1+3x+5x2 +7x3 +¿⋅¿+(2n−1)xn−1 求和： n 已知数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 1．已知各项均为正数的数列 满足 ，且 .(1)写出 ， ，并求 的通项公式； (2)记 求 . 2．记 . (1)当 时， 为数列 的前 项和，求 的通项公式； (2)记 是 的导函数，求 . 3．设 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列， ， ． (1)求数列 与 的通项公式； (2)数列 的前 项和分别为 ； （ⅰ）证明 ； （ⅱ）求 ．4．已知数列 中， . (1)求数列 的通项公式； (2)令 ，记 为 的前 项和，证明： 时， . 5．设等比数列 的前n项和为 ， ， ． (1)求 ； (2)设 ，求数列 的前n项和 ． 6．已知数列 的前 项和为 . (1)求 ； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 7．设数列 满足： ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前n项和 ．8．已知 是各项均为正数的数列 的前 项和， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 裂项相消巧妙变形问题 裂项相消求和 sin1∘ =tan(n+1) ∘ −tann∘ a =f (n+1)−f (n) cosn∘cos(n+1) ∘ ① n ② 1 1 1 (2n) 2 1 1 1 a = = − a = =1+ ( − ) n n(n+1) n n+1 n (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1 ③ ④ 1 1 1 1 a = = [ − ] n n(n−1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2) ⑤ n+2 1 2(n+1)−n 1 1 1 1 a = ⋅ = ⋅ = − ,则S =1− n n(n+1) 2n n(n+1) 2n n⋅2n−1 (n+1)2n n (n+1)2n ⑥ 1 1 1 1 a = = ( − ) n (An+B)(An+C) C−B An+B An+C ⑦ ⑧ n+1 2n 1 1 a =log =log (n+1)−log n a = = − n a n a a n (2n −1)⋅(2n+1 −1) 2n −1 2n+1 −1 ⑨ ⑩1 2 n 2 a = + +¿⋅¿+ b = 在数列 中， n n+1 n+1 n+1 ，又 n a n ⋅a n+1，求数列 的前 项 的和. 1 1 1 cos1∘ + +¿⋅¿+ = cos0∘cos1∘ cos1∘cos2∘ cos88∘cos89∘ sin21∘ 求证： 已知 ，若数列 的前 项和 ，则 ________． 1．已知 是等差数列， ，且 成等比数列． (1)求 的通项公式；(2)若数列 满足 ，且 ，求 的前 项和 ． 2．在正项等比数列 中， . (1)求 的通项公式： (2)已知函数 ，数列 满足： . （i）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式 （ii）设 ，证明： ， 3．已知各项均为正数的等比数列 ，满足 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前n项和为 ．求证： ． 4．已知 为公差不为0的等差数列 的前 项和，且 ． (1)求 的值； (2)若 ，求证： ．5．已知数列 的前 项和为 . (1)求数列 的通项公式 ； (2)记 ，求数列 的前 项和. 6．已知 是数列 的前 项和， ， 是公差为1的等差数列. (1)求数列 的通项公式； (2)证明： . 7．已知数列 的前 项和为 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ， ，求证： ． 8．设数列 的前 项和为 ，已知 ， 是公差为 的等差数列．(1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ． 分组求和必记常见结论 n(a +a ) n(n−1) S = 1 n =na+ d ①等差数列求和公式： n 2 1 2 { na (q=1) 1 S = a (1−qn ) a −a q n 1 = 1 n (q≠1) 1−q 1−q ②等比数列求和公式： n n 1 1 S =∑ k= n(n+1) S =∑ k2 = n(n+1)(2n+1) n 2 n 6 ③ k=1 ④ k=1 n 1 S =∑ k3 =[ n(n+1)] 2 n 2 k=1 ⑤ 1 1 1 1+1, +4, +7,⋅¿⋅, +3n−2 a a2 an−1 求数列的前 项和： ，求数列 的前 项和. 记正项等比数列 满足 ， .等差数列 满足 ， . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 1．已知数列 ，______.在①数列 的前n项和为 ， ；②数列 的前 n项之积为 ，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注： 如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”） (1)求数列 的通项公式； (2)令 ，求数列 的前n项和 .2．已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)给定 ，记集合 中的元素个数为 ，若 ， 试求 的最小值. 3．已知 为数列 的前n项和，且满足 ，其中 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，若对任意的 ，都有 ，求实数m的取值范围． 4．已知数列 满足 ， ，且 ． (1)证明 为等比数列，并求数列 的通项公式； (2)设 ，且数列 的前 项和为 ，证明：当 时， ．5．已知数列 满足 . (1)求 的通项公式； (2)设 ，证明： . 6．已知数列 满足 . (1)设 ，证明： 是等比数列； (2)求数列 的前 项和 . 7．在等差数列 中， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)若记 为 中落在区间 内项的个数，求 的前k项和 . 8．已知数列 是正项等比数列，其前n项和为 ，且 ， ． (1)求 的通项公式； (2)记 的前n项和为 ，求满足 的最大整数n．含 (−1) n类进行求和问题 我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如 a =(−1) n ⋅f (n) {a } 通项公式为 n 的摆动数列 n 前n项和的步骤如下： a +a 第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时， n n+1的表达式； 第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由 S =(a +a )+(a +a )+(a +a )+⋯+(a +a ) S n 1 2 3 4 5 6 n−1 n 求出 n ； 第三步：当n为奇数且 n＞1 时，由 S n =S n−1 +a n求出 S n，特别注意对 n=1 时要单独讨论， S 即 1要单独求出. S S 第四步：将 1代入当n为奇数且 n＞1 时 n的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段 分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示 已知数列 的通项公式 ，求数列 的前 项和 . 已知数列 的通项公式 ，求数列 的前 项和 .1．已知 为数列 的前n项和，且满足 ，其中 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，若对任意的 ，都有 ，求实数m的取值范围． 2．已知数列 是递增数列，前 项和为 ， 且当 时， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 3．在数列 中， ，且数列 是等差数列. (1)求 的通项公式； (2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .4．已知数列 满足： ， . (1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前20项和 . 5．设 是数列 的前 项和，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 6．已知 是等比数列，满足 ，且 成等差数列，数列 满足 ． (1)求 和 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ： (3)设 ，求数列 的前 项和 ．7．在等差数列 中， . (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 8．已知 是等比数列，满足 ，且 成等差数列，数列 满足 . (1)求 和 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前n项和 . 含绝对值求和问题 给出数列 ，要求数列 的前 项和，必须分清 取什么值时 如果数列 为等差数列， 为其前 项和， 那么有： ①若 则有 ②若 则有如果数列 为等比数列， 为其前 项和， 那么有： |a |(1−|q| n ) |a |−a |q| 1 1 n T = = n 1−|q| 1−|q| 已知各项都为正数的等比数列 ， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ， ，求 . 已知等差数列 的首项为6，公差为 ，且 成等比数列. （1）求 的通项公式； （2）若 ，求 的值.在公差不为零的等差数列 中， ，且 、 、 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前n项和 . 1．已知数列 的前n项和 ，且 的最大值为 ． (1)确定常数 ，并求 ； (2)求数列 的前15项和 ． 2．设等差数列 的前 项和为 ， ， ． (1)求 的通项公式； (2)设数列 的前 项和为 ，求 ．3．已知等差数列 ，记 为 的前 项和，从下面①②③中再选取一个作为 条件，解决下面问题．① ；② ；③ ． (1)求 的最小值； (2)设 的前 项和为 ，求 ． 4．已知正项等比数列 满足 是 与 的等差中项． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和． 5．在等比数列 中， ，公比 ，且 ，又 与 的等比中项为2. (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求 的前 项和 . 6．已知等差数列 的公差为整数， ，设其前n项和为 ，且 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前n项和 ． 7．在等差数列 中，已知公差 ， ，且 ， ， 成等比数列. (1)求数列 的通项公式 ； (2)求 的值. 8．已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 的前 项和为 ，设 ，求 的最小值.