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4.1数列的概念（1） -B提高练
一、选择题
1．（2020·全国高二课时练习）数列2，0，2，0…的通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】选项A中， 取不到1，其通项公式中不含 ，A错误；
选项B中，当 是奇数时， ，当 是偶数时， ，B正确；
选项C中， ，C错误；选项D中， ，D错误．故选：B．
2．（2020·河南高二月考（理））已知数列 的通项公式为 ，则257是这个数列的（
）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
【答案】C
【详解】令 ，解得 .故选：C
3．（2020·海伦市第一中学高二期中）大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的
推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾
经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依
次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）．
A．648 B．722 C．800 D．882
【答案】C
【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式： ．
则此数列第40项为 ．故选：C
4．（2020·全国高二课时练习）已知数列 的通项公式为 （ ），且数列从第 项起单调递减，则 的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．不存在
【答案】A
【详解】 ， ，
，由数列 从第 项起单调
递减可得 ，即 ， ，解得 或 （舍
去）， ， ，
， ，即从第11项起， 单调递减， 的最小值为11.故选：A．
5．（多选题）（2020·沭阳如东中学高二月考）已知数列 的前4项为2，0，2，0，则该数列
的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】因为数列 的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；
选项B： ，符合题设；
选项C：， 不符合题设；选项D：
，符合题设.故选：
BD.6. （多选题）（2020·全国高二课时练）若数列 满足：对任意正整数 ， 为递减数列，
则称数列 为“差递减数列”.给出下列数列 ，其中是“差递减数列”的有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】对 ，若 ，则 ，所以 不为递减数列，故
错误；对 ，若 ，则 ，所以 为递增数列，故
错误；对 ，若 ，则 ，所以 为递减数列，故
正确；对 ，若 ，则
，由函数 在
递减，所以数 为递减数列，故 正确.故选： .
二、填空题
7．（2020·西藏拉萨市二中学高二期中） __________.
【答案】
【详解】数列 的各项可以顺次整理为： 分母是项数
加1，分子都是2，前面的正负号可用 调节，得到 ,
8．（2020·安徽宣城市高二期末）已知 ，若数列 中最小项
为第3项，则 ________．
【答案】
【详解】因为 开口向上，对称轴为 ，则由题意知 ，
所以 ．
9．（2020·秭归县第一中学高二期中）若数列{a}为单调递增数列，且 ，则a 的取
n 3
值范围为__________.
【答案】(-∞，6)
【详解】当n≥2时， ，
因为数列{a}为单调递增数列，所以 对n≥2(n∈N)恒成立，
n
即λ＜2n+1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8，
所以 ，故a 的取值范围为(-∞，6).
3
10.（2020·全国高二课时练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创
立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个
树形图，则第13行中实心圆点的个数是__________．
【答案】144
【详解】由题意及图形知，不妨构造数列 表示第 行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心
圆点．故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．
即 ，且 时， ，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为：
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144．
三、解答题
11.（2020·全国高二课时练）在数列 中， .
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
【详解】（1）令 ，
解得 或 （舍去）.所以
（2） ，
由于 ，所以最大项为
12.（2021·全国高二课时练）在数列 中，已知 ，且 .
（1）求通项公式 ；
（2）求证： 是递增数列；
（3）求证： .
【详解】（1）∵ ，
∴ 解得因此 .
证明（2）∵ ，
∴ ，故 是递增数列.
（3）∵ ，而 ，
∴ .
故 .
