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4.1 数列的概念
题组一 根据通项求项
1．（2020·宜宾市南溪区第二中学校高一月考）已知数列 ，则数列 的第4项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 .故选：B.
2．（2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）已知数列的通项公式是 ，则
等于（ ）
A．70 B．28 C．20 D．8
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 =20.故选C.
3．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列的一个通项公式为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，则 .故选：A.
4．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列 …，则 是这个数列的（ ）
A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项【答案】B
【解析】由数列前几项归纳可知通项公式为 ,
时, ,为数列第七项，故选B.
5．（2020·浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）已知数列 的通项公式为 ，则
A．100 B．110 C．120 D．130
【答案】C
【解析】 数列 的通项公式为 ，则 .故选：C.
6．（2020·四川高一期中）已知数列 的通项公式是 ，则220是这个数列的( )
A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项
【答案】B
【解析】由题意，令 ，则 ，解得 或 ；
因为 ，所以 ，即220是这个数列的第20项.故选：B.
7．（2020·四川省苍溪实验中学校高一期中）已知数列2， ，4，…， ，…，则8是该数列
的第________项
【答案】
【解析】令 ，解得 ，所以8是该数列的第11项，故答案为： .
8．（2020·上海高二课时练习）在数列 中，已知 ，则 的前6项分别为
______.
【答案】
【解析】易得 ， ， ， ， ，.故答案为：
9．（2020·上海高二课时练习）已知数列 的通项公式为 ，那么 是这数列的第_____
项.
【答案】9
【解析】令 ，即 ，解得 或 (舍去)，
则 是这数列的第9项，故答案为: 9.
10．（2020·上海高二课时练习）数列 中， （ ），该数列从第_____项开始每项
均为负值.
【答案】34
【解析】令 ，解不等式得： ，由于 ，故 .故答案为：34.
题组二 根据项写通项公
式
1．（2020·江西高一月考）数列 ，…的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据分子、分母还有正负号的变化，可知， .故选D.2．（2020·四川双流·艺体中学）数列2， ， ， ， …的一个通项公式a 等于（ ）
n
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】数列2， ， ， ， …
可写成： ， ， ， ， …
所以通项公式a .故选C.
n
3．（2020·上海市杨浦高级中学）已知数列 、 、 、 、 ，可猜想此数列的通项公式是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项， ，不合乎题意；
对于B选项， ，不合乎题意；
对于C选项， ，不合乎题意；
对于D选项，当 为奇数时， ，此时 ，
当 为偶数时， ，此时 ，合乎题意.故选：D.
4．（2018·吉林宽城·长春市养正高中高一期中）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一
个通项公式 __________．
【答案】
【解析】第一图点数是1；第二图点数 ;第三图是 ；第四图是
则第 个图点数 故答案为：
5．（2019·山东东营·）已知数列 的前4项依次为 ， ， ， ，试写出数列 的一个通项
公式 ______.
【答案】
【解析】 ， ， ， ，的通项公式为 ， ， ， ， ，的通项公式为 ，
正负交替的通项公式为 ，所以数列 的通项公式 .故答案为：
6．（2020·全国高一课时练习）写出下列各数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）
（2）（3）
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】解（1）考虑到第2，4项的分母恰好是所在项的序号，
于是这个数列的前4项可以改写成 ，
这4项的分母都与项的序号相同，分子都恰好是序号加3，且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为 .
（2）考虑到分子 恰好是序号的2倍，
所以分子应为2n.分母 都为分子的平方数减去1，
因此它的一个通项公式为 .
（3）这个数列的第n项可以是n个5组成的n位数 ，用代数式替代省略号，
可考虑前4项改写成 ，
其中 又可表示成 ，
这里的10的正整数次幂的指数恰好与数列中项的序号相等，
所以它的一个通项公式为 .
（4） ，考虑到其每一项与序号的关系
将前几项分别写成： ，因此它的一个通项公式为 .
题组三 根据递推公式求项
1．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中）在数列 中，已知 ， ，
，则 等于（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【解析】由 知：
故选：B
2．（2020·自贡市第十四中学校高一期中）数列 的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数列3，7，11， 的一个通项公式为 ，
故数列 ， ， ， ， 的一个通项公式是 ，故选：C．
3．（2019·河北廊坊·高一期末）数列 的前几项为 ，则此数列的通项可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】数列为 其分母为 ，分子是首项为 ，公差为 的等比数列，故通项公式为
.
4．（2020·安徽黄山·高一期末）数列 的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ，
所以其通项公式是： 故选：B
5．（2020·武汉外国语学校高一月考）数列4，6，10，18，34，……的通项公式 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 故选：C
6．（2020·浙江越城·绍兴一中期中）在数列 中， ，则 等于
A． B． C． D．
【答案】D【解析】已知 逐一求解 ．故选D
7．（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学高一期中）数列 ，2， ，8， ，…它的一个通项公式可
以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将 代入四个选项可得 为 ,B为 ,C为 ,D为 .所以排除B、C选项.
将 代入A、D,得A为2,D为 ,所以排除D综上可知,A可以是一个通项公式故选：A
8．（2019·息县第一高级中学高二月考（文））数列 ，3， ，15，…的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将 代入四个选项，可知 中 D中 所以排除C、 D.
当 ，代入B可得 所以排除B，即A正确，故选：A.
9．（2018·安徽六安一中高一期末（文））已知 ，给出4个表达式：① ，②
，③ ，④ .其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的
通项公式的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】①②③逐一写出为 可以，④逐一写出为 不满足，故选A．
10．（2020·湖北十堰·高一期末）数列 ，…的通项公式可能是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，排除A，C，由 ，排除B.故选：D.
11.（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列 ， ， ， ， ， ，的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵数列{a}各项值为 ， ， ， ， ， ，
n
∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|a|＝2n﹣1
n
又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴a＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．
n
题组四 公式法求通项 公
式
1．（2019·云南东川明月中学高一期中）数列 的前 项和 ,则 的通项公式
_____.
【答案】
【解析】当 时, ；当 时, ；
∴ 故答案为
2．（2019·湖南岳阳）已知数列 ，若 ，则数列 的前 项和为
__________．
【答案】
【解析】因为 所以
两式相减得 所以 设数列 的前 项和为S
n
则
3．（2020·上海市金山中学期中）已知数列 的前 项和 ，则 __________．
【答案】
【解析】当 时，
当 时，由 ，得 ，
两式相减， ，将 代入上式， ，
通项公式为
故答案为 .
4．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校期中）已知数列 前 项和为 ，且 ，则 _______
【答案】 .
【解析】当 时， 当 且 时，
综上所述： ， 本题正确结果：
5．（2020·河北石家庄·辛集中学）在数列 中，已知其前 项和为 ，则 __________．
【答案】
【解析】当 时， ；
当 时， ，不满足上式。
故 。
答案： .
题组五 斐波那契数列公
式
1．（2020·重庆）斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列 定义如下： ， .随着n的增大， 越来越逼近
黄金分割 ，故此数列也称黄金分割数列，而以 、 为长和宽的长方形称为“最美长方
形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ）
A．144厘米 B．233厘米 C．250厘米 D．377厘米
【答案】B
【解析】由题意可得 且 ，解得 .故选：B.
2．（2020·安徽）数列 ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意
大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，
每项等于其前相邻两项之和，记该数列 的前 项和为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，将上述各式两边相加得， ，
所以 .故选：B
3．（2018·合肥一六八中学高二开学考试）斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契
以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、
34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义： ， ，.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食
堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（ ）种上楼方法.
A．377 B．610 C．987 D．1597
【答案】C
【解析】由题意若只有一个台阶，则有 种上楼方法；
若有两个台阶，则有 种上楼方法；
若有三个台阶，则有 种上楼方法；
若有四个台阶，则有 种上楼方法；
以此类推：
若要到达第n个台阶，前一步可能在第n-1个台阶上再跨一台阶上去，也可能是在第n-2个台阶上跨两个台
阶上去，
∴满足 ，符合斐波那契数列的规律，由此规律列举出前15项：
1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987
∴有15个台阶，则他到二楼就餐有987种上楼方法.
故选：C.
4．（2020·涞水波峰中学）斐波那契数列（Fibonacci sequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐
波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契
数列被以下递推的方法定义：数列 满足： ， ，现从数列的前2019项中随
机抽取1项，能被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据斐波纳契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为： ，余数数
列是周期数列，周期为8， ，所以数列的前2019项中能被3整除的项有 ，所求概率为 ．故选：C．
5．（2019·山东高二期中）“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子
繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列 满足： ， ，
，记其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
故选 ．
6．（2020·重庆6）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提
出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项
之和，记该数列为 ，则 的通项公式为（ ）A．
B． 且
C．
D．
【答案】BC
【解析】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然 ， ， ， ，
，所以 且 ，即B
满足条件；
由 ，
所以
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
所以 以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ；
即C满足条件；
故选：BC
7．（2020·浙江月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数
列”，斐波那契数列 满足以下关系： ， ， ，记其前 项
和为 ，设 ( 为常数)，则 ______； ______.
【答案】
【解析】因为斐波那契数列 满足 ， ， ，
∴ ； ； ； …
；
所以 ，
因为 ．
故答案为： ， ．
8．（2020·广东高二期末）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：
……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义： ，
， ，记其前 项和为 ，设 （ 为常数），则
______（用 表示）， ______(用常数表示)
【答案】
【解析】
故
， ， ，
故故答案为： ；
