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专题 08 数列
易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言： ( ， 为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式： ．
（2）前 项和公式： ．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，
且一次项系数为公差 .若公差 ，则为递增数列，若公差 ，则为递减数列．
②前n项和：当公差 时， 是关于 的二次函数且常数项为0.
已知数列 是等差数列， 是其前 项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广： ．
（2）若 ，则 ．（3）若 的公差为d，则 也是等差数列，公差为 ．
（4）若 是等差数列，则 也是等差数列．
2、等差数列前 项和的性质
（1） ；
（2） ；
（3）两个等差数列 ， 的前n项和 ， 之间的关系为 .
（4）数列 ， ， ，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为 ，则 ， ；
（2）若项数为 ，则 ， ， ， .
最值问题：解决此类问题有两种思路：
一是利用等差数列的前 项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；
二是依据等差数列的通项公式 ，当 时，数列一定为递增数列，当
时，数列一定为递减数列．所以当 ，且 时，无穷等差数列的前 项和有最大值，其最大值是所
有非负项的和；当 ，且 时，无穷等差数列的前 项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，
求解非负项是哪一项时，只要令 即可
易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性
求解数列问题，要注意 的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.
例 ．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，求 取得最大值时对应的n值.
变式1．数列 是等差数列， ， ．
(1)从第几项开始有 ？
(2)求此数列的前 项和的最大值．
变式2．记 为等差数列 的前n项和，已知 ， ．(1)求 的通项公式；
(2)求 的最小值．
变式3．等差数列 ， ，公差 ．
(1)求通项公式和前 项和公式；
(2)当 取何值时，前 项和最大，最大值是多少．
1．已知数列 是等差数列，若 ， ，且数列 的前 项和 ，有最大值，当
时， 的最大值为（ ）
A．20 B．17 C．19 D．21
2．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则 取得最小值时n的值为（ ）
，
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知数列 中， 若其前n项和为Sn 则Sn的最大值为（ ）
，
A．15 B．750 C． D．
4．若 是等差数列，首项 ， ， ，则使前 项和 成立的最大自然
数 是（ ）
A．2021 B．2022 C．4042 D．4043
5．设 是等差数列， 是其前n项和，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D． 与 均为 的最大值6．设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ．已知 ， ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．设 的前 项和为 ，则 时， 的最大值为27
7．已知数列 的前 项和 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 为等差数列的充要条件
B． 可能为等比数列
C．若 ， ，则 为递增数列
D．若 ，则 中， ， 最大
8．已知数列 的前n项和 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是等差数列 B．
C． D． 有最大值
9．数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值
10．等比数列 中 ， ，则数列 的前 项和的最大值为 ．
11．记等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则当 取得最大值时，n＝ ．
易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。
数学语言表达式： ( ， 为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，其中 .
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；
通项公式的推广： .
（2）等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， .
已知 是等比数列， 是数列 的前 项和．（等比中项）
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ， ， ，…仍是等比数列，公比为 .
（2）若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等比数
列．
（3）若 ，则有
口诀：角标和相等，项的积也相等 推广：
（4）若 是等比数列，且 ，则 （ 且 ）是以 为首项， 为公差的
等差数列。
（5）若 是等比数列， ，则 构成公比为 的等比数列。
易错提醒：若 成等比数列，则 为 和 的等比中项。只有同号的两数才有等比中项， “
”仅是“ 为 和 的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。例 ．已知各项均为正数的等比数列 中， ，则 等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
变式1．已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列，则 ( )
A． B． C． D．
变式2．已知 ，如果 ， ， ， ， 成等比数列，那么（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
变式3．已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
1．已知等差数列 的前 项和为 ，公差不为0，若满足 、 、 成等比数列，则 的值为
（ ）
A．2 B．3 C． D．不存在
2．已知公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则数列 的前9项的
和为（ ）
A．1 B．2 C．81 D．80
3．已知 ， ，则使得 成等比数列的充要条件的 值为（ ）
A．1 B． C．5 D．4．已知等差数列 的公差不为0， 且 成等比数列，则错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．正项等比数列 中， 是 与 的等差中项，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
6．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线 ＋y2＝1的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或7
7．数列 为等比数列， ， ，命题 ，命题 是 、 的等比中项，则 是 的
（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
8．在数列 中， ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
9．已知 是等差数列，公差 ，前 项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
11．已知数列 是等差数列， ，其中公差 ，若 是 和 的等比中项，则 （ ）
A．398 B．388
C．189 D．199易错点三：忽略等比数列求和时对 的讨论（等比数列求和）
等比数列前 项和的性质
（1）在公比 或 且 为奇数时， ， ， ，……仍成等比数列，其公比为 ；
（2）对 ，有 ；
（3）若等比数列 共有 项，则 ，其中 ， 分别是数列 的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前 项和 ，令 ，则 （ 为常数，且
）
易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的： ，所以在利用等比数列求和公式
求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论..
例 ．设等比数列 的前n项和为 .已知 ， ，则 .
变式1．记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 ．
变式2．在等比数列 中， ， ，令 ，求数列 的前n项和 ．
变式3．数列 前 项和 满足 ，数列 满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)对任意 ，将数列 中落入区间 内项的个数记为 ，求数列 前 项和 ．1．已知 为等比数列，其公比 ，前7项的和为1016，则 的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
2．已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ， （ ， ）， 为其前 项和，则 （ ）
A． B． C． D．
4．在等比数列 中， ， ，则（ ）
A． 的公比为4 B． 的前20项和为170
C． 的前10项积为 D． 的前n项和为
5．已知正项等比数列 的前n和为 ，若 ，且 ，则满足 的n的最大值为
.
6．已知等比数列 的前n项和为 ， ，且－3， ， 成等差数列，则数列 的通项
．
7．设 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
8．已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 ．
9．已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 ．
10．数列 的前n项和为 ，且 ， ，则满足 的最小的自然数n的值为
．11．在正项等比数列 中，已知 ， ，则公比 ．
易错点四： 由 求 时忽略对“ ”的检验（求通项公式）
类型1 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此
数列的一个通项．
类型2 公式法：
n S
若 已 知 数 列 的 前 项 和 n与 的 关 系 ， 求 数 列 的 通 项 可 用 公 式
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型3 累加法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．类型4 累乘法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型5 构造数列法：
（一）形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式：
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方
法有如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数
（ 待 定 系 数 法 ） 得 ， 即
构成以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可得法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以
为首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如 型的递推式：
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为
首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的
通项整理可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，
以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理
可得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以 得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在
转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常
数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在
转化为类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 ．
类型6 对数变换法：
形如 型的递推式：
在原递推式 两边取对数得 ，令 得： ，化归为
型，求出 之后得 （注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型7 倒数变换法：
形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为 形式，
化归为 型求出 的表达式，再求 ；还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为
型求出 的表达式，再求 ．
类型8 形如 型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数
得 ，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
易错提醒：在数列问题中，数列的通项 与其前n 项和 之间关系如下 ，在
使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛ ｝的 与 关系时，先令 求
出首项 ，然后令 求出通项 ，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令 求
出通项 ，也不对 进行检验.
例 ．已知数列 和 ，其中 的前项和为 ，且 ， .
(1)分别求出数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求证： .变式1．数列 的前n项和 ，已知 ， ，k为常数.
(1)求常数k和数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，证明：
变式2．设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 .证明：对一切正整数 ， .
变式3．已知数列 的前 项和为 ，且 （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
1．已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 为等比数列，求 的值.
2．已知数列 的前 项和为 ，且 与 的等差中项为 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
3．已知数列 的前n项和为 ， 且 ， .(1)求 ；
(2)记 ，求数列 的前n项和.
4．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，当 时， 是4的常数列.
(1)求 的通项公式；
(2)当 时，设数列 的前 项和为 ，证明： .
5．在数列 中， ， 是 的前n项和，且数列 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
6．已知数列 的前 项和是 ，且 .
(1)证明： 是等比数列.
(2)求数列 的前 项和 .
7．已知首项为4的数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
8．设数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 的前 项和为 ，求证： ．
9．设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求出数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 时，n的最小值．
10．已知 为数列 的前 项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， ，求数列 的前 项和 ．
11．已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且 ， （ 且 ）．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
易错点五：裂项求和留项出错（数列求和）
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6） ，设 ，易得 ，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型（1）
（2）
（3）
（4） ，
则
积累裂项模型6：阶乘
（1）
（2）
常见放缩公式：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）
；
（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．
易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下
第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前
面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。例 ．已知数列 的前 项和为 ， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
变式1．记 为数列 的前n项和，满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
变式2．已知首项为1的数列 ，其前 项利为 ，且数列 是公差为1的等差数列 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
变式3．已知数列 为非零数列，且满足 .
(1)求 及数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，且满足 ，证明： .1．已知 是数列 的前 项和， ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
2．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，当 时， 是4的常数列.
(1)求 的通项公式；
(2)当 时，设数列 的前 项和为 ，证明： .
3．在数列 中， 为数列 的前 项和，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 .求数列 的前 项和 .
4．设数列 前n项和为 ， ， .
(1)求 ，及 的通项公式；
(2)若 ，证明： .
5．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，数列 的前n项之积为 ， ，且 ．
(1)求 ；
(2)令 ，求正整数n，使得“ ”与“ 是 ， 的等差中项”同时成立；
(3)设 ， ，求数列 的前2n项和 ．6．设 是等比数列的公比大于 ，其前 项和为 ， 是等差数列，已知 ， ，
， .
(1)求 ， 的通项公式
(2)设 ，求 ；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ，求 .
7．已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
8．设 为数列 的前 项和，
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的最小项为第 项，求 ；
(3)设 数 的前 项和为 ，证明：
9．已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 ；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .10．已知数列满足 ，且 .
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ，求 的前 项和 .
