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4．1 第一课时 数列的概念
[A级 基础巩固]
1．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D
中的数列是摆动数列．
2．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的( )
A．第20项 B．第22项
C．第24项 D．第26项
解析：选C 由＝0.96，解得n＝24.
3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
解析：选C 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.
4．已知数列{a }的通项公式a ＝log (n＋2)，则它的前30项之积是( )
n n (n＋1)
A. B．5
C．6 D．
解析：选B a·a·a·…·a ＝log 3×log 4×log 5×…×log 32＝log 32＝log 25＝5.
1 2 3 30 2 3 4 31 2 2
5．已知递减数列{a }中，a ＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
n n
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]解析：选C a －a ＝k(n＋1)－kn＝k<0.
n＋1 n
6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．
解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得a ＝
n
答案：a ＝
n
7．已知数列{a }的通项公式a ＝19－2n，则使a >0成立的最大正整数n的值为________．
n n n
解析：由a ＝19－2n>0，得n<.∵n∈N*，∴n≤9.
n
答案：9
8．已知数列{a }的通项公式a ＝，则a ·a ·a ＝________.
n n n n＋1 n＋2
解析： a ·a ·a ＝··＝.
n n＋1 n＋2
答案：
9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)，，，________，，，…；
(2)，________，，，，…；
(3)2,1，________，，…；
(4)，，________，，….
解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号
1 2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
________
于是应填，而分子恰为10减序号，
故应填，通项公式为a ＝.
n
(2)＝，＝，＝，＝.
只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平
方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填，通项公式为a ＝.
n
(3)因为2＝，1＝，＝，所以数列缺少部分为，数列的通项公式为a ＝.
n
(4)先将原数列变形为1，2，________，4，…，所以应填3，数列的通项公式为a ＝n＋.
n
10．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来：
(1)a ＝(－1)n＋2；
n
(2)a ＝.
n
解：(1)a＝1，a＝3，a＝1，a＝3，a＝1.图象如图①.
1 2 3 4 5
(2)a＝2，a＝，a＝，a＝，a＝.图象如图②.
1 2 3 4 5
[B级 综合运用]
11．(多选)一个无穷数列{a }的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是( )
n
A．a ＝n
n
B．a ＝n3－6n2－12n－6
n
C．a ＝n2－n＋1
n
D．a ＝
n
解析：选AD 对于A，若a ＝n，则a＝1，a＝2，a＝3，符合题意；对于B，若a ＝n3－6n2－12n＋6，
n 1 2 3 n
则a＝－11，不符合题意；对于C，若a ＝n2－n＋1，当n＝3时，a＝4≠3，不符合题意；对于D，若a
1 n 3 n
＝，则a＝1，a＝2，a＝3，符合题意．故选A、D.
1 2 3
12．对任意的a∈(0,1)，由关系式a ＝f(a )得到的数列满足a >a (n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是(
1 n＋1 n n＋1 n
)解析：选A 据题意，由关系式a ＝f(a )得到的数列{a }，满足a >a ，即该函数y＝f(x)的图象上任一
n＋1 n n n＋1 n
点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.
13．已知数列2，，2，…的通项公式为a ＝，则a＝________，a＝________.
n 4 5
解析：将a＝2，a＝代入通项公式，得
1 2
解得
∴a ＝，∴a＝＝，a＝＝.
n 4 5
答案：
14．已知数列{a }的通项公式为a ＝pn＋q(p，q∈R)，且a＝－，a＝－.
n n 1 2
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)－是{a }中的第几项？
n
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
解：(1)∵a ＝pn＋q，且a＝－，a＝－，
n 1 2
∴解得
因此{a }的通项公式是a ＝n－1.
n n
(2)令a ＝－，即n－1＝－，
n
所以n＝，解得n＝8.故－是{a }中的第8项．
n
(3)由于a ＝n－1，且n随n的增大而减小，因此a 的值随n的增大而减小，故{a }是递减数列．
n n n
[C级 拓展探究]15．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．
解：(1)设a ＝f(n)＝
n
＝＝.
令n＝10，得第10项a ＝f(10)＝.
10
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵a ＝＝1－，
n
且n∈N*，∴0<1－<1，
∴0
