文档内容
4．1 第二课时 数列的递推公式与前n项和
[A级 基础巩固]
1．已知数列{a }满足a＝1，a ＝2a ＋1，则a 等于( )
n 1 n＋1 n 5
A．15 B．16
C．31 D．32
解析：选C ∵数列{a }满足a＝1，a ＝2a ＋1，
n 1 n＋1 n
∴a＝2×1＋1＝3，a＝2×3＋1＝7，a＝2×7＋1＝15，a＝2×15＋1＝31.
2 3 4 5
2．若数列{a }满足a ＝(n∈N*)，且a＝1，则a ＝( )
n n＋1 1 17
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：选A 由a ＝得a －a ＝，a ＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a －a )＝1＋×16＝13，故选A.
n＋1 n＋1 n 17 1 2 1 3 2 17 16
3．(多选)数列{a }中，a ＝－n2＋11n，则此数列最大项是( )
n n
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
解析：选BC a ＝－n2＋11n＝－2＋，
n
∵n∈N ，∴当n＝5或n＝6时，a 取最大值．故选B、C.
＋ n
4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，，，，…，.①
第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a，a，a，…，a .
1 2 3 n
则n≥2时，aa＋aa＋…＋a a ＝( )
1 2 2 3 n－1 n
A．n2 B．(n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
解析：选C 由题意得a＝.k≥2时，a a＝＝n2.∴n≥2时，aa＋aa＋…＋a a ＝n2＝n2＝n(n－1)．故
k k－1 k 1 2 2 3 n－1 n选C.
5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{a }，数列{b }满足b＝2，当n≥2时，b ＝a，则b 的值是( )
n n 1 n 6
A．9 B．17
C．33 D．65
解析：选C ∵b ＝a，∴b＝a＝a＝3，b＝a＝a＝5，b＝a＝a＝9，b＝a＝a＝17，b＝a＝a ＝33.
n 2 2 3 3 4 5 5 9 6 17
6．函数f(x)定义如下表，数列{x }满足x＝5，且对任意的自然数均有x ＝f(x )，则x ＝________.
n 0 n＋1 n 2 021
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
解析：根据定义可得出：x＝f(x)＝2，x＝f(x)＝1，x＝f(x)＝5，x＝f(x)＝2，…，所以周期为3，故x
1 0 2 1 3 2 4 3 2
＝673×3＋x＝1.
021 2
答案：1
7．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直
角三角形演化而成的，其中OA ＝A A ＝A A ＝…＝A A ＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记
1 1 2 2 3 7 8
OA ，OA ，…，OA ，…的长度构成数列{a }，则此数列的通项公式为a ＝________.
1 2 n n n
解析：因为OA ＝1，OA ＝，OA ＝，…，OA ＝，…，所以a＝1，a＝，a＝，…，a ＝.
1 2 3 n 1 2 3 n
答案：
8．数列{a }的前n项和为S ，若S ＋S ＝2n－1(n≥2)，且S＝3，则a＋a 的值为________．
n n n n－1 2 1 3
解析：∵S ＋S ＝2n－1(n≥2)，令n＝2，
n n－1
得S＋S＝3，由S＝3得a＝S＝0，
2 1 2 1 1
令n＝3，得S＋S＝5，所以S＝2，
3 2 3
则a＝S－S＝－1，所以a＋a＝0＋(－1)＝－1.
3 3 2 1 3答案：－1
9．根据下列条件，写出数列的前四项，并写出它的一个通项公式：
(1)a＝0，a ＝a ＋2n－1(n∈N*)；
1 n＋1 n
(2)a＝1，a ＝a ＋(n∈N*)；
1 n＋1 n
(3)a＝2，a＝3，a ＝3a －2a (n∈N*)．
1 2 n＋2 n＋1 n
解：(1)a＝0，a＝1，a＝4，a＝9.它的一个通项公式为a ＝(n－1)2.
1 2 3 4 n
(2)a＝1，a＝，a＝，a＝.它的一个通项公式为a ＝.
1 2 3 4 n
(3)a＝2，a＝3，a＝5，a＝9.它的一个通项公式为a ＝2n－1＋1.
1 2 3 4 n
10．已知函数f(x)＝x－.数列{a }满足f(a )＝－2n，且a >0.求数列{a }的通项公式．
n n n n
解：∵f(x)＝x－，∴f(a )＝a －，
n n
∵f(a )＝－2n.∴a －＝－2n，即a＋2na －1＝0.
n n n
∴a ＝－n±.∵a >0，∴a ＝－n.
n n n
[B级 综合运用]
11．已知数列{a }的首项为2，且数列{a }满足a ＝，数列{a }的前n项的和为S ，则S 等于( )
n n n＋1 n n 1 008
A．504 B．294
C．－294 D．－504
解析：选C ∵a＝2，a ＝，∴a＝，a＝－，a＝－3，a＝2，…，∴数列{a }的周期为4，且a＋a＋a
1 n＋1 2 3 4 5 n 1 2 3
＋a＝－，∴S ＝S ＝252×＝－294.
4 1 008 4×252
12．(多选)数列{F }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐
n
波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两
项之和．记数列{F }的前n项和为S ，则下列结论正确的是( )
n n
A．S＝F －1 B．S＝S－1
5 7 5 6
C．S ＝F －1 D．S ＝F －1
2 019 2 021 2 019 2 020
解析：选AC 根据题意有F ＝F ＋F (n≥3)，所以S＝F ＋F ＋F ＝1＋F ＋F ＋F －1＝F ＋F ＋F
n n－1 n－2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 3－1＝F ＋F －1＝F －1，S＝F ＋S＝F ＋F －1＝F －1，S＝F ＋S＝F ＋F －1＝F －1，…，所以S
4 3 5 4 4 3 4 5 6 5 5 4 5 6 7 2 019
＝F －1.故选A、C.
2 021
13．已知数列{a }满足a＝1，a ＝a－1(n＞1)，则a ＝________，|a ＋a |＝________(n＞1)．
n 1 n 2 021 n n＋1
解析：由a＝1，a ＝a－1(n＞1)，得
1 n
a＝a－1＝12－1＝0，a＝a－1＝02－1＝－1，
2 3
a＝a－1＝(－1)2－1＝0，a＝a－1＝02－1＝－1，
4 5
由此可猜想当n＞1，n为奇数时a ＝－1，n为偶数时a ＝0，∴a ＝－1，|a ＋a |＝1.
n n 2 021 n n＋1
答案：－1 1
14．已知数列{a }满足a＝，a a ＝a －a (n≥2)，求数列{a }的通项公式．
n 1 n n－1 n－1 n n
解：∵a a ＝a －a ，∴－＝1.
n n－1 n－1 n
∴＝＋＋＋…＋
＝2＋ 1 ＋ 1 ＋ … ＋ 1 ＝n＋1.
∴＝n＋1，
∴a ＝(n≥2)．
n
又∵n＝1时，a＝，符合上式，
1
∴a ＝.
n
[C级 拓展探究]
15．已知数列{a }的通项公式为a ＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不
n n
存在，请说明理由．
解：存在最大项．理由：a＝，a＝＝1，a＝＝，a＝＝1，a＝＝，….∵当n≥3时，＝×＝＝2<1，
1 2 3 4 5
∴a
