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专题 10 解析几何专题（新定义）
一、单选题
1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，
定义在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），把到定点 和 距离之积等于 的点
的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知 为双纽线Γ上任意一点，有下列命题：
①双纽线Γ的方程为 ；
② 面积最大值为 ；
③ ；
④ 的最大值为 ．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①②③
C．②③④ D．①②③④
2．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 中长度为整
数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆 中所有 “好弦” 的长度之和为（ ）
A．162 B．166 C．312 D．364
3．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到
达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，定义两点间“距离”为 ，则平面内与 轴上两个不同的定点
的“距离”之和等于定值（大于 ）的点的轨迹可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两
条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 ：
的蒙日圆方程为 ， ， 分别为椭圆 的左、右焦点.离心率为 ，
为蒙日圆上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若 面积的
最大值为36，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆
锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被
称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2021秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶
点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（
）
A． B． C． D．
7．（2021春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）若曲线 上存在两个不同点处的切线重合，则称
这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，定义 称为点 的“
和”，其中 为坐标原点，对于下列结论：（1）“ 和”为1的点 的轨迹围成的图形面积为2；
（2）设 是直线 上任意一点，则点 的“ 和”的最小值为2；（3）设 是直线
上任意一点，则使得“ 和”最小的点有无数个”的充要条件是 ；（4）设 是椭圆
上任意一点，则“ 和”的最大值为 .其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
9．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点 ，使得点 到两个焦点
的距离之比为 ，且存在 ，则称此椭圆或双曲线存在“ 点”，下列曲线中存在“ 点”
的是（ ）
A． B． C． D．10．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆 的焦点为 、 ，若点 在椭圆上，
且满足 （其中 为坐标原点），则称点 为“★”点.下列结论正确的是（ ）
A．椭圆 上的所有点都是“★”点
B．椭圆 上仅有有限个点是“★”点
C．椭圆 上的所有点都不是“★”点
D．椭圆 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点
11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中学校考期中）已知两定点 ， ，若直线上存在点 ，
使 ，则该直线为“ 型直线”，给出下列直线，其中是“ 型直线”的是（ ）
① ；② ；③ ；④
A．①③ B．①② C．③④ D．①④
12．（2017春·吉林·高一统考期末）已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|≤4，则称该直线为
“ 切割型直线” , 下列直线中是“ 切割型直线” 的是( )
① ;② ;③ ;④ .
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
二、多选题
13．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超
椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C： .其中星形线E： 常用于超
轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（ ）
A．E关于y轴对称
B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
C．E上的点到原点距离的最小值为
D．曲线E所围成图形的面积小于214．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为 ，集合 ，若对于
任意的 ，都存在 ，使得 成立，则称曲线C为Σ曲线.下列方程所表示的
曲线中，是Σ曲线的有（ ）
A． B． C． D．
15．（2021秋·河北保定·高二顺平县中学校考阶段练习）在平面内，若曲线 上存在点 ，使点 到点
， 的距离之和为10，则称曲线 为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是
（ ）
A． B．
C． D．
16．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段 长度为 ，
动点 满足 ，那么 的轨迹称为双纽线.已知曲线 为双纽线，
下列选项判断正确的是（ ）
A．曲线 过点
B．曲线 上的点的纵坐标的取值范围是
C．曲线 关于 轴对称
D． 为曲线 上的动点， 的坐标为 和 ，则 面积的最大值为
17．（2021秋·江苏南通·高二江苏省包场高级中学校考期中）黄金分割比例 具有严格的比例性、艺
术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．
我们把离心率 的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ）A．椭圆 是“黄金椭圆”
B．若椭圆 的右焦点为 ，且满足 ，则该椭圆为“黄金椭圆”
C．设椭圆 的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若 ，则该椭圆为
“黄金椭圆”
D．设椭圆 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是 ， ，若
，则该椭圆为“黄金椭圆”
三、填空题
18．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 的方
程为： ， 为坐标原点，点 ，点 为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是
________.
①卵圆 关于 轴对称
②卵圆上不存在两点关于直线 对称
③线段 长度的取值范围是
④ 的面积最大值为
19．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系中， ， ，若在曲线C上存在一点P，使得
∠APB为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为______．（填序号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
20．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）法国数学家蒙日 发现：双曲线
的两条互相垂直切线的交点 的轨迹方程为： ，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线 对应的蒙日圆方程为 ，则 ___________.
21．（2023·全国·高三专题练习）一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线
含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序
号)
（1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；
（2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；
（3）射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；
（4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面.
22．（2023·全国·高三专题练习）定义：点 为曲线 外的一点， 为 上的两个动点，则 取最
大值时， 叫点 对曲线 的张角.已知点 为抛物线 上的动点，设 对圆
的张角为 ，则 的最小值为___________.
23．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与
的交点N为点M的“中心投影点”，曲线 上所有点的“中心投影点”构成的曲线长
度是_______
24．（2020·浙江·高二期末）把椭圆 的短轴和焦点连线段中较长者､较短者分别作为椭圆 的长轴､短轴，
使椭圆 变换成椭圆 ，称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆 “压缩”成椭圆
，得到一系列椭圆 ，…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆 经过
次“压缩”后能终止，则椭圆 的离心率可能是① ，② ，③ ，④ 中的______.
（填写所有正确结论的序号）
25．（2018·北京·高二统考期末）已知两定点 ,若直线上存在点 ,使得 ,则该直线为“ 型直线”.给出下列直线,其中是“ 型直线”的是___________.
① ② ③ ④
26．（2017·河南漯河·漯河高中校考三模）平面直角坐标系中， ， ，若曲线 上存在一点 ，
使 ，则称曲线 为“合作曲线”，有下列曲线① ；② ；③ ；④
；⑤ ，
其中“合作曲线”是__________．（填写所有满足条件的序号）
27．（2016·河北衡水·统考一模）如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点 顺时针旋转 后，构成一个
斜坐标平面 .在此斜坐标平面 中，点 的坐标定义如下：过点 作两坐标轴的平分线，分别
交两轴于 两点，则 在 轴上表示的数为 ， 在 轴上表示的数为 .那么以原点 为圆心的单
位圆在此斜坐标系下的方程为___________.
28．（2022·全国·高三专题练习）称离心率为 的双曲线 为黄金双曲线.如图是
双曲线 的图象，给出以下几个说法：
①双曲线 是黄金双曲线；
②若 ，则该双曲线是黄金双曲线；③若F，F 为左右焦点，A，A 为左右顶点，B(0,b)，B(0,-b)且∠FBA=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
1 2 1 2 1 2 1 1 2
④若MN经过右焦点F 且MN⊥FF，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线.
2 1 2
其中正确命题的序号为____________
四、解答题
29．（2022·全国·高三专题练习）焦距为2c的椭圆 （a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此
椭圆为“等差椭圆”．
(1)如果椭圆 （a＞b＞0）是“等差椭圆”，求 的值；
(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于
原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是
否过定点？说明理由．
30．（2022·高二课时练习）已知椭圆 ： ，点 为椭圆短轴的上端点， 为椭圆上异于
点的任一点，若 点到 点距离的最大值仅在 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”.
（1）若 ，判断椭圆 是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆 是“圆椭圆”，求 的取值范围.
31．（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的
三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似
椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆 ，椭圆 与 是“相
似椭圆”，已知椭圆 的短半轴长为 ．（1）写出椭圆 的方程（用 表示）；
（2）若椭圆 的焦点在 轴上，且 上存在两点 ， 关于直线 对称，求实数 的取值范围．
32．（2020春·上海青浦·高三校考开学考试）我们称点P到图形C上任意一点距离的最小值为点P到图形
C的距离，记作 .
（1）求点 到抛物线 的距离 ；
（2）设 是长为2的线段，求点集 所表示图形的面积.
33．（2020秋·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期末）已知抛物线 的焦点为 ，准线 的方程为
.若三角形 的三个顶点都在抛物线 上，且 ，则称该三角形为“向心三角形”.
（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为 和 ？说明理由；
（2）设“向心三角形” 的一边 所在直线的斜率为 ，求直线 的方程；
（3）已知三角形 是“向心三角形”，证明：点 的横坐标小于 .
34．（2011·浙江台州·高三阶段练习）已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转
角得到向量 ，叫做把点 绕点A逆时针方向旋转 角得到点 .设平
面内曲线 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 后得到点的轨迹是曲线 ，求原来曲线 的方
程.
35．（2022秋·山东淄博·高二统考期末）定义离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆
是“黄金椭圆”，则 ___________，若“黄金椭圆”
两个焦点分别为 、 ，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是 的内心，连接 并延长交 于点N，则 ___________．
36．（2021秋·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，若点M不与点O重
合，则称射线 与圆 的交点N为M的“中心投影点”．
（1）点 的“中心投影点”的坐标为________；
（2）曲线 上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是____________．
