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4.3.2等比数列的前n项和公式 (1) -B提高练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）在数列 中， ， ，记 的前 项和为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，∴ ，又 ，∴数列 是以1为首项， 为比
的等比数列，∴ ，∴ .故选：D.
2．（2021·山东烟台市高二期末）衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数 ．它指的是，
在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传
染给多少人的平均数．它的简单计算公式是： 确诊病例增长率 系列间隔，其中系列间隔
是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平
均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染
病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．30 B．62 C．64 D．126
【答案】D
【详解】由题意得： ，所以经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：
，故选：D
3．（2021·山西师大附中高二期末）已知数列 、 满足 ， ，，则数列 的前 项和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为 ，∴数列 是等差数列，且公差是 ， 是等比数列，
且公比是 ，又∵ ，∴ ， ，∴ ，
设 ，∴ ，数列 是等比数列，且公比为 ，首项为 ，
由等比数列的前 项和的公式得：其前 项的和为 .故选：C.
4．（2020·江西吉安市高二期末）已知函数 ，给出三个条件：① ；②
；③ .从中选出一个能使数列 成等比数列的条件，在这个条件下，数列
的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】已知函数 ，定义域为 .
若选①，则 ， ， 不是常数，则 不
是等比数列；若选②，则 ， ， 不是常数，则不是等比数列；若选③，则 ， ， 是
常数，
则 是以 为首项，以3为公比的等比数列，则 .故选：D.
5．（多选题）（2021·山东德州市高二期末）已知等比数列 公比为 ，前 项和为 ，且满
足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为单调递增数列 B．
C． ， ， 成等比数列 D．
【答案】BD
【详解】由 ，可得 ，则 ，当首项 时，可得 为单调递减数列，
故 错误；由 ，故 正确；假设 ， ， 成等比数列，可得 ，
即 不成立，显然 ， ， 不成等比数列，故 错误；
由 公比为 的等比数列，可得
，故 正确；故选： ．
6. （多选题）（2021·莆田第二十五中学高二期末）在递增的等比数列 中，已知公比为 ，
是其前 项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．数列 是公差为2的等差数列【答案】ABC
【详解】 为递增的等比数列，由 得
解得 或 ∵ 为递增数列，∴ ∴ ， ，
故选项 正确；∴ ， ，∴ ， ，
∴数列 是等比数列，故选项 正确；所以 ,则 ，故选项
正确.又 ，∴数列 是公差为 的等差数列，故选项 错误.故选：
ABC.
二、填空题
7．（2021·河南郑州市高二期末）已知数列 为递增等比数列， 是关于 的方程
的两个实数根，则其前 项和 ________.
【答案】31
【详解】由 ，解得 或 ，∵数列 为递增等比数列， 是关于 的
方程 的两个实数根，∴ ，∴公比 ．
∴其前5项和 ．
8．（2021·河南新乡市高二期末）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，
，则数列 的公比 _______.
【答案】【详解】由已知 ，
则 ，解得 ．
9．（2021·河南许昌高中高二期末）以 为首项､以 为公比的等比数列 满足 ，
，设数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题意得 ，可得 ，所以 ，
所以 ，即 .
10．（2021·安徽铜陵高二期末）对于数列 ，定义数列 为数列 的“差数列”，若
， 的“差数列”的通项公式为 ，数列 的前 项和为 ，则
的最大值为________．
【答案】
【详解】由题意得 ，则 ， ，
，．．．．．．， ，将以上各式相加，得，
∴ ， 也适合， ， ．
则 的最大值为 ．
三、解答题
11．（2021·山东枣庄市·高二期末）已知 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，
，再从① ；② ；③ 这三个条件中选择___________，
___________两个作为已知.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【详解】解：选择条件①和条件②
（1）设等差数列 的公差为 ，∴
解得： ， .∴ ， .
（2）设等比数列 的公比为 ， ，
∴ 解得 ， .
设数列 的前 项和为 ，∴ .
选择条件①和条件③：
（1）设等差数列 的公差为 ，∴
解得： ， .∴ .（2） ，设等比数列 的公比为 ， .
∴ ，解得 ， .
设数列 的前 项和为 ，∴ .
选择条件②和条件③：
（1）设等比数列 的公比为 ， ，
∴ ，解得 ， ， .
设等差数列 的公差为 ，∴ ，又 ，故 .
∴ .
（2）设数列 的前 项和为 ，
由（1）可知 .
12．（2021·山东泰安市高二期末）已知公比大于1的等比数列 的前 项和为 ，且 ，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和 ．【详解】解：设 的公比为 ， ．
（1）由 整理得 ，解得 或 （舍去）．
∴ ，∴ ， ．
（2） ，∴ ．
∴ ， ，
∴
．
∴ ．
