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专题 14 集合，复数，逻辑语言专题（数学文
化）
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣
1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数 满足 ，则 的共
轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将
数据整理如图所示，其中集合S表示（ ）
A．无症状感染者 B．发病者 C．未感染者 D．轻症感染者
3．（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若 ，则 ”为真命题，则“由
可以推出 ”，即一旦 成立， 就成立， 是 成立的充分条件.也可以这样说，若 不成立，那么 一
定不成立， 对 成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常
之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”
的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔
如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2020·陕西榆林·统考一模）在复平面内，复数 （ ， ）对应向量 （O为坐标原点），
设 ，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为 ，则 ，法国数学家棣莫弗发现
了棣莫弗定理： ， ，则 ，
由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式： ，已知 ，则
（ ）
A． B．4 C． D．16
6．（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理
之一，它说的是：任何一元 次复系数多项式 在复数集中有 个复数根（重根按重数计）那么
在复平面内使 除了1和 这两个根外，还有一个复数根为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021春·安徽宣城·高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式 （ 为虚数单
位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有
非常重要的地位.根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2022·全国·高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数 ， 且
(其中i是虚数单位 ，则复数 （ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别
独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程 ，它
的两个虚数根分别为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数
到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了 ，17
世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用 表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平
面”．若复数z满足方程 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2022·高一单元测试）中国古代重要的数学著作 孙子算经 下卷有题：今有物，不知其数 三三数之，
剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二 问：物几何？现有如下表示：已知 ，
， ，若 ，则下列选项中符合题意的整数 为
A． B． C． D．
12．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘
的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳
不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数
是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合 ，则 的子集个数
为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
13．（2019·江西·高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分
数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （
），则 是 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 ，若令 ，则第
一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ，若每次都取最简分数，那么第三
次用“调日法”后可得 的近似分数为
A． B． C． D．
14．（2022·上海·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，
它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质
量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买 黄金，售货员先将
的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘
使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
15．（2022·高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为
如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果 ，那么B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．对任意实数a和b，有 ，当且仅当 时，等号成立
16．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问
题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示
图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF
与线段CF的长度完成的无字证明为（ ）
A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．
C． （a＞0，b＞0） D． （a＞0，b＞0）
17．（2022·全国·高三专题练习） 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，
使复数及其运算具有了几何意义，例如 ，也即复数 的模的几何意义为 对应的点 到原点的距离．
已知复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式
，（其中 是虚数单位， 是自然对数的底数， ），这个公式在复变论中有非常重要
的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2020·天津·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到 世纪，直到 年，德
国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每一个
元素都小于 中的每一个元素，则称 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割 ，下列选
项中一定不成立的是（ ）
A． 没有最大元素， 有一个最小元素
B． 没有最大元素， 也没有最小元素
C． 有一个最大元素， 有一个最小元素
D． 有一个最大元素， 没有最小元素
20．（2021春·安徽·高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为
丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知
则该方程的整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
21．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高
提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并
证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（
）．
A． B．10 C． D．
22．（2017·湖北·校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积
和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误命题的个数是
对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；
如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；
圆 的一个太极函数为 ；
圆的太极函数均是中心对称图形；
奇函数都是太极函数；
偶函数不可能是太极函数.A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
23．（2021春·广东梅州·高二统考期末）欧拉公式 （其中 为虚数单位， ）是由瑞
士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，
在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（
）
A．复数 对应的点位于第一象限 B． 为纯虚数
C．复数 的模长等于 D． 的共轭复数为
24．（2022春·广东梅州·高一统考期末）欧拉公式 （本题中 为自然对数的底数，i为虚数
单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非
常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．复数 在复平面内对应的点位于第二象限
C．复数 的共轭复数为
D．复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆
25．（2022·高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也
对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概
念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对
所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；② ，
使得 ，有 ，③ ， ，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说
法正确的有（ ）
A． 关于数的乘法构成群
B．G={x|x= ，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群
D． 关于数的加法构成群
26．（2020秋·江苏盐城·高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五
步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了
这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为 和 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角
形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2
所示的矩形，该矩形长为 ，宽为内接正方形的边长 .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，
如图3.设 为斜边 的中点，作直角三角形 的内接正方形对角线 ，过点 作 于点 ，
则下列推理正确的是（ ）
①由图1和图2面积相等得 ；
②由 可得 ；
③由 可得 ；
④由 可得 .
A．① B．② C．③ D．④
27．（2022秋·黑龙江佳木斯·高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方
法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够
通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且
.设 ， ， ，垂足为 ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A． B．
C． D．
28．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长
度与肚脐至足底的长度之比是 （ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是
如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分
割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是（ ）
A． B． C． D．
29．（2021秋·全国·高一期末）早在西元前 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调
和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的
定义与今天大致相同．而今我们称 为正数 的算术平均数， 为正数 的几何平均数，并把这
两者结合的不等式 叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则 最小值为
C．若 ， ，
D．若实数 满足 ， ， ，则 的最小值是
30．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的
发展影响深远．若a，b， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
三、填空题
31．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指
两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数 （i为虚数单位），则
__________．
32．（2022·全国·高三专题练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈
指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必
要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
33．（2022·高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女
四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举
法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.
34．（2022秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是指以几何方法研究代数问题，
这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实
现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示， 为线段 上的点，且 ， ， 为 的中
点，以 为直径作半圆．过点 作 的垂线交半圆于 ，连接 ， ， ，过点 作 的垂线，
垂足为 ，过点 作 的垂线 ，使得 ．该图形完成 的无字证明．
图中线段__________的长度表示 ， 的调和平均数 ，线段______________的长度表示 ， 的平方
平均数 ．35．（2022秋·浙江温州·高三温州中学校联考期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一
个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几
两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
则一共有____________人，每个人分得____________两银子”.
36．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率
论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式： ，
其中 ， .已知 ，根据这个公式可知 ______.
37．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第八十三中学校考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日
法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别
为 和 ， ，则 是 的更为精确的近似值．已知 ，试以上述 的不足近似
值 和过剩近似值 为依据，那么使用两次“调日法”后可得 的近似分数为 ________ ．
38．（2021·江苏·高一专题练习）由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数
学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是
指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足 ， ，M中的每一个元素都小
于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割 ，下列选项中一定
不成立的是________.
①M没有最大元素，N有一个最小元素；
②M没有最大元素，N也没有最小元素；③M有一个最大元素，N有一个最小元素；
④M有一个最大元素，N没有最小元素；
四、解答题
39．（2022秋·江苏盐城·高一盐城中学校考阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，
从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途
径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，
使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元：
（3）整体代入：（4）整体求和等.例如， ，求证： .证明：原式
.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现
后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二：基本不等
式 ，当且仅当 时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在 的条件
下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
