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2024届新高考二轮复习第八讲：立体几何
1. （4）设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
2.（13）已知轴截面为正三角形的圆锥 的高与球 的直径相等，则圆锥 的体积与球 的体积
的比值是__________，圆锥 的表面积与球 的表面积的比值是__________．
3.（17）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形， 为 与 的
交点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型一：空间几何体的表面积和体积
【典例例题】
例1.（2024春·黑龙江齐齐哈尔）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全
玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，
气势恢宏，美轮美英．佛兰德现代艺术中心的底面直径为 ，侧面积为 ，则该建筑的高为
（ ）
A． B． C． D．
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1.（2024春·新疆昌吉）如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，
是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为 ，则该正
四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024春·江苏苏州）在梯形 中， ，以下底 所在直
线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024春·河北保定）如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜
制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中
国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组
合而成，经测量，该组合体的深度约为 ，上口的内径约为 ，圆柱的深度和底面内径分别约为
，则“何尊”的容积大约为（ ）
A． B． C． D．
题型二：外接球和内切球
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例1.（2024春·新疆）将平面内等边 与等腰直角 （其中 为斜边），沿公共边 折叠成
直二面角，若 ，且点 在同一球 的球面上，则球 的表面积为______.
【变式训练】
1.（2024春·广东省）已知 是边长为4的正三角形， 是 边上的中线．现将 沿 折起，
使二面角 等于 ，则四面体 外接球的表面积为 ．
2.（2024春·江西省）若体积为 的正三棱锥 的所有顶点都在同一个球面上，则该球体积的最小
值为 ．
3.（2024春·新疆乌鲁木齐）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去
八个一样的四面体得到的，则（ ）
A．该几何体的顶点数为12
B．该几何体的棱数为24
C．该几何体的表面积为
D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项
4.（2024春·新高考模拟）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种
屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形 为矩形， ,
, 与 都是边长为2的等边三角形，若点 ， ， ， ， 都在球 的球面
上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型三：点、直线与平面位置关系
【典例例题】
例1.（2024春江西省）设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， 是两条不同的异面直线， ， ， ，则 D．若 ， ，
则 与 所成的角和 与 所成的角互余
【变式训练】
1.（2024春·广东省）已知两条不重合的直线 和 ，两个不重合的平面 和 ，下列四个说法：
①若 ， ， ，则 ②若 ， ， ，则
③若 ， ， ，则 ④若 ， ， ，则
其中所有正确的序号为（ ）
A．②④ B．③④ C．④ D．①③
2.（2024春湖北省）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
3．（2024春·湖北·校联考模拟）下列说法中正确的是（ ）
A．没有公共点的两条直线是异面直线
B．若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则
C．若平面α，β，γ满足 ， ，则
D．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若 ， ， ，则
4．（2024·江苏南通）已知 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题错误的是（ ）
A．如果 ， ，那么
B．如果 ， ，那么更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C．如果 ， ，那么
D．如果 ， ， ，那么
题型四：空间向量与立体几何
【典例例题】
例1.（2024春·重庆）如图，在边长为1的正方体 中， 是 的中点， 是线段 上
的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当 点与 点重合时，直线 平面
B．当点 移动时，点 到平面 的距离为定值
C．当 点与 点重合时，平面 与平面 夹角的正弦值为
D．当 点为线段 中点时，平面 截正方体 所得截面面积为
【变式训练】
1.（2024春·云南昆明）（多选）在正四棱柱 中，已知 与平面 所成的角为 ，
底面 是正方形，则（ ）
A． B． 与平面 所成的角为
C． D． 平面
2.（2024春·河南信阳）（多选）正方体 中， 为 的中点， 为正方体表面上一个
动点，则（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A. 当 在线段 上运动时， 与 所成角的最大值是
B. 当 在棱 上运动时，存在点 使
的
C. 当 在面 上运动时，四面体 体积为定值
D. 若 在上底面 上运动，且正方体棱长为 与 所成角为 ，则点 的轨迹长度是
3.（2024春·惠州市东江博雅学校期末考试）（多选）如图，已知四棱锥 的底面 是直角
梯形， ， ， ， 平面 ， ，下列说法正确的
是（ ）
A. 与 所成的角是
B. 与平面 所成的角的正弦值是
C. 平面 与平面 所成的锐二面角余弦值是
D. 是线段 上动点， 为 中点，则点 到平面 距离最大值为
4.（2024春·汕头市潮阳实验学校期末考试）（多选）在棱长为2的正方体 中， 是线
段 上的动点，则（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A. 存在点 ，使
B. 存在点 ，使点 到直线 的距离为
C. 存在点 ，使直线 与 所成角的余弦值为
D. 存在点 ，使点 ， 到平面 的距离之和为3
题型五：立体几何综合应用
【典例例题】
例1.（2024春·广西桂林）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，
即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥 中，四边形 是边长为3的正
方形， ， ， .
(1)证明：四棱锥 是一个“阳马”；
(2)已知点 在线段 上，且 ，若二面角 的余弦值为 ，求直线 与底面
所成角的正切值.
【变式训练】
1.（2024春·新高考）如图，在三棱柱 中， 是正三角形，四边形 是菱形， 与更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
交于点 ， 平面 ， .
(1)若点 为 中点，求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
2.（2024春·江西省）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其
底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥 中，四边形 是边长为3的正方形，
， ， .
(1)证明：四棱锥 是一个“阳马”；
(2)已知点 在线段 上，且 ，若二面角 的余弦值为 ，求直线 与底面
所成角的正切值.
3.（2024 春·湖北省）如图，在四棱锥 中， 平面 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
.
（1）求二面角 的正弦值；
（2）在棱 上确定一点 ，使异面直线 与 所成角的大小为 ，并求此时点 到平面 的
距离.
一、单项选择
1．（2024春·黑龙江哈尔滨）过正四棱锥 的高 的中点作平行于底面 的截面 ，
若四棱锥 与四棱台 的表面积之比为 ，则直线 与底面 所成角的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024春·黑龙江）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四
棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成
的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为 ，方亭的高为棱台上底更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
面边长的3倍.已知方亭的体积为 ，则该方亭的上底面边长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
3．（2023春·黑龙江哈尔滨）所有面都只由一种正多边形构成的多面体称为正多面体.已知一个正四面体
和一个正八面体 的棱长都是 （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一
个新多面体，则新多面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·安徽合肥）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊
鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，
截面图如下，其中 ， ， ，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃
质量的是（参考数据： ，铜的密度为8.96 ）（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A．1kg B．2kg C．3kg D．0.5kg
5．（2024春·安徽宣城）粽子是我国人们传统的美食，基本上全国都有吃粽子的习惯.随着生活水平的不断
提高，粽子的花样，口味也在不断的变化，现在市场上粽子的形状有金字塔形、条形、三棱锥形等，口味
大致有甜味，咸味两种，还有蛋黄，豆沙，大肉等.现将一种蛋黄粽看作正四面体，其内部的蛋黄看作一个
球体，那么，当蛋黄的体积为 时，该蛋黄粽（正四面体）高的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2024春·安徽阜阳）在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻有一个令他最引以为傲的几何图案.该几何图
案是内部嵌入一个内切球的圆柱，且该圆柱底面圆的直径与高相等，则该圆柱的内切球与外接球的体积之
比为（ ）
A． B． C． D．
7.（2024·全国·校联考模拟）已知 是两条不同的直线， 为平面， ，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，且 与 不垂直，则 与 一定不垂直
B．若 与 不平行，则 与 一定是异面直线
C．若 ，且 ，则 与 可能平行
D．若 ，则 与 可能垂直
8．（2024·全国·校联考模拟）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
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9.（2024·山西晋城）如图，在正四棱柱 中， ， ， ，平面 将
该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为 ，下部分对应的几何体为 ，则（ ）
A． 的体积为2
B． 的体积为12
C． 的外接球的表面积为
D．平面 截该正四棱柱所得截面的面积为
10．（2024春·安徽滁州）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为 ， ，母线
长为2，点 为 的中点，则（ ）
A．圆台的体积为
B．圆台的侧面积为
C．圆台母线 与底面所成角为60°
D．在圆台的侧面上，从点 到点 的最短路径长为4
11.（2024春·广州市1月份调研测试）如图，在棱长为2的正方体 中，已知M，N，P更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
分别是棱 ， ， 的中点，Q为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则
（ ）
A. 平面
B. 平面 截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题
12．（2024春·全国）在三棱锥 中， 两两互相垂直， ，当三棱
锥 的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为 .
13．（2024春·江西赣州）某小区计划修建一个圆台形的花台，它的上、下底面半径分别为 和 ．若
需要 的土才能把花台填满，则花台高为 ．
14．（2024春·安徽六安）在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ，
已知圆柱在该四棱锥的内部且圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为
.
15．（2024春·河北保定）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包
皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某
“鞠”的表面上有四个点 满足 ， ，则该“鞠”更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
的表面积为 .
四、简答题
16.（2024春·河南）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ， ，
，
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求直线 与平面 夹角的正弦值．
17.（2024春·广东省深圳外国语学校、执信中学期末）正方体 中 分别是
的中点.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
18.（2024春·广州市华南师大附中第一次调研）如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，
， ，且 ， ， ， 为 中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若线段 上存在点 ，使得二面角 的大小为 ，求 的值．
