文档内容
更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
2024届新高考二轮复习第十一讲：圆锥曲线
1.（2）椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
2. （8）设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过坐标原点的直线与 交于
两点， ，则 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，过 与 垂直的直线交 于
两点，其中 在 轴上方， 分别为 的中点．
（1）证明：直线 过定点；
（2）设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型一：椭圆的方程
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）（多选）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，P是C上一点，则
（ ）
A． B． 的最大值为8
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
【变式训练】
1. （ 2024 春 · 河 南 省 ） 若 椭 圆 和 的 方 程 分 别 为 和 （
且 ） 则 称 和 为 相 似 椭 圆 ． 己 知 椭 圆
，过 上任意一点 P 作直线交 于 M，N 两点，且
，则 的面积最大时， 的值为（ ）
A. B. C. D.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
2.（2024春·湖南长沙）（多选）椭圆 的标准方程为 为椭圆的左、右焦点，点 ．
的内切圆圆心为 ，与 分别相切于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二：椭圆的离心率
【典例例题】
例1.（2024·黑龙江）已知 为椭圆 上一点， 分别为 的左、右焦点，且
，若 外接圆半径与其内切圆半径之比为 ，则 的离心率为 ．
【变式训练】
1.（2024春·广东省东莞）已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，左、
右顶点分别为 ， ，点 在 上，且 ， ，则椭圆 的离心率为（
）
A. B. C. D.
2.（2024春·湖北武汉）已知椭圆 的左右焦点为 ．直线 与椭圆 相交于
两点， 若 ， 且 ， 则椭圆 的离心率为 ．
3.（2024春·广东汕头市）已知椭圆 ， 是以点 为直角顶点的等腰直角三角
形，直角边 与椭圆分别交于另外两点 ．若这样的 有且仅有一个，则该椭圆的离心率的更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
取值范围是______．
4.（2024春·河北）如图，已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点 ， ，A、B、C、D是
它们的公共点，且都在圆 上，直线 与x轴交于点P，直线 与双曲线 交于点 ，记
直线 、 的斜率分别为 、 ，若椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
题型三：双曲线的方程
【典例例题】
例1.如图，加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲
线）上两条相互垂直的切线的交点 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．则双曲线
的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.（2024春·广西桂林）已知双曲线 ，直线 与双曲线相切于点 ，与两条渐近线相交于
， 两点，则此时三角形 （O为原点）的面积为（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B．1 C． D．2
2．（2024春·河北）已知双曲线 的离心率为2，左､右顶点分别为 ，右焦点
为 ， 是 上位于第一象限的两点， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.（2024春·四川成都）若双曲线 的左、右焦点分别为 ，过右焦点 的直线 与
双曲线 交于 两点，已知 的斜率为 ， ，且 ， ，则直线 的
斜率是（ ）
A． B． C． D．
题型四：双曲线的离心率
【典例例题】
例1.（2024春·江西赣州）已知双曲线 的右焦点为F，过点F且斜率为 的直线l
交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若 ，则双曲线的离心率取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.（2024·吉林长春）已知双曲线 的左，右焦点分别为 为 右支上一点，
的内切圆圆心为 ，直线 交 轴于点 ，则双曲线的离心率为
.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
2.（2024春·新高考）如图，已知双曲线 的一条弦 所在直线的倾斜角为 ，点
关于原点 的对称点为 ，若 ，双曲线 的离心率为 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．4
3.（2024·新疆乌鲁木齐）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，A是右支上一点，
满足 ，直线 交双曲线于另一点 ，且 ，则双曲线的离心率为 ．
题型五：抛物线
【典例例题】
例1.（2024·安徽）（多选）设 是坐标原点，抛物线 的焦点为 ，点 ， 是抛物线 上两点，
且 .过点 作直线 的垂线交准线于点 ，则（ ）
A．过点 恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点
B． 的最小值为2
C． 的最小值为
D．直线 恒过焦点
【变式训练】
1.（2024春·黑龙江）圆心在抛物线 上，且与直线 相切的圆一定过的点是（ ）
A． B．
C． D．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
2.（2024春·甘肃）已知过抛物线 焦点 的直线交 于 ， 两点，点 ， 在 的准线
上的射影分别为点 ， ，线段 的垂直平分线 的倾斜角为 ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（2024春·新疆乌鲁木齐）设抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与 交
于A，B两点，以 为直径的圆与准线 切于点 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·贵州贵阳）（多选）已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，其准线与 轴交于点 ，
经过点 的直线 与抛物线交于不同两点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在
C．不存在以 为直径且经过焦点 的圆
D．当 的面积为 时，直线 的倾斜角为 或
题型六：直线与圆锥曲线的位置关系
【典例例题】
例1.（2024春·广东省深圳外国语学校、执信中学）已知椭圆 的左、右焦点分
别为 、 ，离心率为 ， 是椭圆上的点.
（1）求椭圆 的标准方程；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（2）设 为 的左顶点，过 的直线交椭圆 于 、 两点，直线 、 分别交直线 于 、
两点， 是线段 的中点，在 轴上求出一定点 ，使得 .
【变式训练】
1.（2024春·广州市华南师大附中第一次调研）已知椭圆 的离心率为 ，斜率为2
的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，
面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)当M异于O点时，记直线 与y轴交于点N，求 周长的最小值．
2.（2024春·广东惠州）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上的点到焦点的最长
距离为 ．
（1）求椭圆 的方程：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（2）直线 （不过原点 ）与抛物线 相交于 两点，以 为直径的圆经过原点 ，且此直
线 也与椭圆 相交于 两点，求 面积的最大值及此时直线 的方程.
3.（2024春·广东广州市）在平面直角坐标系 中，点 ，点 是平面内的动点.若以PF
为直径的圆与圆 内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点 ， ， ，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于
A）， ，垂足为H，求 的最小值．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
4.（2024春·河北廊坊）已知抛物线C： 的焦点为F，圆M： ．点 是抛物
线C上一点，
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 面积的最大值．
题型七：圆锥曲线新颖题型
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头）已知点 为双曲线 上的动点.
(1)判断直线 与双曲线的公共点个数，并说明理由；
(2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线 的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为 ，请利用
该方程证明如下命题：若 为双曲线 上一点，直线 ： 与 的两条渐近线分别交于点
，则 为线段 的中点.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【变式训练】
1.（2024春·四川雅安）我们把形如 和 的两个双曲线
叫做共轭双曲线．设共轭双曲线 ， 的离心率分别为 ， ，则当 取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
2.（2024春·安徽合肥）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它
们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妺”圆锥曲线，
分别为 的离心率，且 ，点 分别为椭圆 的左､右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 的取值范围.
3.（2024春·安徽黄山）如图，已知曲线 是以原点O为中心、 为焦点的椭圆的一部分，曲线 是以
原点O为中心， 为焦点的双曲线的一部分，A是曲线 和曲线 的交点，且 为钝角，我们把
曲线 和曲线 合成的曲线C称为“月蚀圆”．设 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(1)求曲线 和 所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点 作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H
为BE的中点．问： 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
一、单项选择
1.（2024春·江西省）椭圆 与椭圆 的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
2．（2024春·广东深圳）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，经过 的直线交双
曲线的左支于 ， ， 的内切圆的圆心为 ， 的角平分线为 交 于M，且更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，若 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．2
3.（2024春·内蒙古赤峰）过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线 ，与 的两条渐近
线分别交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024春·天津）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 向双曲线的一条渐
近线引垂线，垂足为点 ，且 （ 为坐标原点），则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择
4．（2024春·辽宁）已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，倾斜角为 的直线 过点 且与
交于 ， 两点，若 的面积为 ，则 （ ）
A． B．
C．以 为直径的圆与 轴仅有 个交点 D． 或
5.（2024春·山东日照）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭
圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
面相切，截面分别与球 ，球 切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球 ，球 的半径
分别为4和1，球心距 ，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线 上 B．
C．直线 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
6.（2024春·广东广州）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.
设 为坐标原点，双曲线 的左右焦点分别为 ，右顶点 到一条渐近线的距离为
2，右支上一动点 处的切线记为 ，则（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．双曲线 的离心率为
C．当 轴时，
D．过点 作 ，垂足为
8.（2024春·广东东莞）已知双曲线 的左､右焦点分别为 为坐标原点，直线更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
与双曲线 的渐近线交于点 （ 在第二象限， 在第一象限），下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若 的面积为2，则双曲线 的焦距的最小值为4
D．若 的面积为2，则双曲线 的焦距的最小值为8
三、简答题
9.（2024春·广东惠州市）如图，已知半圆C ： 与x轴交于A、B两点，与y轴交于E
1
点，半椭圆C ： 的上焦点为F，并且 是面积为 的等边三角形，
2
将由C 、C 构成的曲线，记为“Γ”．
1 2
（1）求实数a、b的值；
（2）直线l： 与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），
使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
（3）设点 ，P是曲线Γ上任意一点，求 的最小值．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
10. （2024春·广东省潮州市） 设圆 的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重
合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明 为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求
1 1
四边形MPNQ面积的取值范围.
11.（2024春·广东省深圳市龙岗区）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离
心率为 ，过点 的直线 与双曲线的左、右两支分别交于点 ， ．当 时， 的面积为
5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线 与 轴交于点 ，且 ， ，求证： 为定值．
