文档内容
5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2） -A基础练
一、 选择题
1．（2021·全国高二课时练） 在[0，3]上的最大值，最小值分别是
（ ）
A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16
【答案】A
【详解】 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ 的极小值为 ，也是最小值
， ，
的最大值、最小值分别为 、 .故选：A.
2．（2021·河北邯郸高二期末）已知函数 ，若在定义域内存在 ，使得不等式
成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】函数 的定义域为 ， .
令 ，得 或 （舍）.
当 时， ；当 时， .
所以当 时， 取得极小值，也是最小值，且最小值为1.
因为存在 ，使得不等式 成立，
所以 ，所以实数m的最小值为1.故选：C
3．（2021·山西师大附中高二期末）函数 在 内有最小值，则 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），
①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取得最小值，显然不可
能，②若a＞0，f′（x）=0解得x=± ，当x＞ ，f（x）为增函数，0＜x＜ 为减函数，
f（x）在x= 处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．
综上所述，a的取值范围为（0，1），故答案为B
4．（2021·江苏徐州高二期末）已知函数 无零点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为函数 无零点，
所以方程 在 上无解，即 在 上无解，
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 时，函数 有唯一的极小值，也是最小值．
，所以 ．若 无解，则 ．故选：B．
5．（多选题）（2021·湖南郴州高二期末）如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为 的半球，下面大圆刚好与高度为 的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内
倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小
圆锥体积可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】令上部分的半球半径为 ，可得 ，解得 ，
设小圆锥的底面半径为 ，小圆锥底面中心到球心距离为 ，
可知 ， ，和 可构成直角三角形，即 ，
小圆锥体积 ．
令 ，则 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时， 最大，
，即 ，即ABC三个选项都满足题意．故选：ABC.
6．（多选题）（2021·山东菏泽三中高二期末）已知函数 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则函数 没有极值B．若 ，则函数 有极值
C．若函数 有且只有两个零点，则实数a的取值范围是
D．若函数 有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
【答案】ABD
【详解】由题意得，函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， 恒成立，此时 单调递减，没有极值，
又 当x趋近于0时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ，
∴ 有且只有一个零点，
当 时，在 上， ， 单调递减，在 上， ， 单调递增，
当 时， 取得极小值，同时也是最小值，∴ ，
当x趋近于0时， 趋近于 ， 趋近于 ，
当x趋近于 时， 趋近于 ，
当 ，即 时， 有且只有一个零点；
当 ，即 时， 有且仅有两个零点，
综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．
二、 填空题
7．（2021·全国高二课时练）若函数 在区间 上有最小值，则实数 的取值
范围是______.【答案】
【详解】 ，当 或 时， ，当 时，
，∴ 是函数 的极小值点．∵函数 在区间 上有最小
值，即为极小值．∴ ，解得 ．
8．（2021·福建三明一中高二期末）已知 是奇函数，当 时，
，当 时， 的最小值为1，则a=________.
【答案】1
【详解】 是奇函数， 时， 的最小值为1，
在 上的最大值为 ，
当 时， ，
令 得 ，又 ， ，
令 ，则 ， 在 上递增；令 ，则 ，
在 ， 上递减， ， ，得 ．
9．（2021·全国高二课时练）已知函数 , ,若对任意 都存在
使 成立,则实数 的取值范围是______.
【答案】
【详解】对任意 都存在 使 成立，所以得到 ，而 ，所以 ，
即存在 ，使 ，此时 ， ，
所以 ，因此将问题转化为
存在 ，使 成立，
设 ，则 ， ，
当 ， ， 单调递增，所以 ，
即 ，所以 ，所以实数 的取值范围是 .
10．（2021·安徽铜陵高二期末）已知 ，直线 与函数 的图象在
处相切，设 ，若在区间 上，不等式 恒成立，则实数
的最大值是_______.
【答案】
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，又点 在直线 上，∴
，
∴ ， ，设 ，则 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴
，∴ 在 上单调递增， ，解得 或 ，
∴ 的最大值为 .
三、 解答题
11．（2021·安徽省阜阳第一中学高二课时练）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【解析】（1）因为 ，所以 .
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）设 ，则 .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
12．（2021·海林市朝鲜族中学高二期末）已知函数 ， .
（1）若 在 上的最大值为 ，求实数 的值；（2）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由 ，得 ，
令 ，得 或 .
函数 ， 在 上的变化情况如下表：
， ， .
即最大值为 ， .
（2）由 ，得 .
， ，且等号不能同时取得， ，即 .
恒成立，即 .
令 ， ，则 .
当 时， ， ， ，从而 .
在区间 上为增函数， ， .
