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5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2） -B提高练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）函数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【详解】由题意得， .
令 ，得 .当 时， 单调递减；当 时，
单调递增.因此 在 处取得极小值也是最小值，且最小值为 .故选：C.
2．（2021·山东泰安实验高中高二期末）已知函数 在 上的最大值为
，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增，
故当 时，函数 有最大值 ，解得 ，不符合题意.当 时，函数 在 上单调递减，最大值为 ，不符合题意.
当 时，函数 在 上单调递减.此时最大值为 ，
解得 ，符合题意.故a的值为 .故选：A.
3．（2021·广州华南师大附中高二期末）已知函数 在 上有两个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ， .
当 时， ， 在 上单调递增，不合题意.
当 时， ， 在 上单调递减，也不合题意.
当 时，则 时， ， 在 上单调递减， 时，
， 在 上单调递增，又 ，所以 在 上有两个零点，只
需 即可，解得 .
综上， 的取值范围是 .
4．（2021·安徽省阜阳第一中学高二期末）设函数 ， （ ， 为实数），若存在实数 ，使得 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，
则 ，若 ，可得 ，函数 为增函数，当 时，
，不满足 对任意 恒成立；
若 ，由 ，得 ，则 ，
∴当 时， ，当 时， ，∴
.
若 对任意 恒成立，则 恒成立，若存在实数 ，
使得 成立，则 ，∴ ，令
，则
.∴当 时， ，当 时， ，则 .
∴ .则实数 的取值范围是 .
5．（多选题）（2021·全国高二专题练）设 的最大值为 ，则（
）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】AB
【详解】对于选项A，当 时， 在区间 上递减，
所以 ，故选项A正确.
对于选项B，当 时， ，则 ，
在区间 上递增，即 ，故选项B正确.
对于选项C，当 时，当 时， 恒成立，
所以 ，所以 ，故选项C错误.
对于选项D，当 时， ，则 ，
在区间 上递增， ，故选项D错误.故选：AB.6．（多选题）（2020·邵东创新实验学校高三月考）对于函数 ，下列说法正确的是（
）
A． 在 处取得极大值 B． 有两个不同的零点
C． D．若 在 上恒成立，则
【答案】ACD
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，极大值为 ，所以A正确；
由当 时， ，因为 在 上单调递增，所以函数 在 上只有一个
零点，当 时，可得 ，所以函数在 上没有零点，
综上可得函数在 只有一个零点，所以B不正确；
由函数 在 上单调递减，可得 ，
由于 ，
则 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以C正确；
由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，所以D正确.故选：ACD.
二、填空题
7．（2021·湖北黄石高二期末）要设计一个容积为 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，
已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又
是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径 _______ 时，造价最低．
【答案】 .
【详解】设圆柱的高为 ，圆柱底面单位面积造价为 ，总造价为 ，
因为储油罐容积为 ，所以 ，整理得： ，所以 ，令 ，则 ，
当 得： ，当 得 ，
所以当 时， 取最大值，即 取得最大值.
8．（2020·东莞市东华高级中学高二月考）若函数 的图象在点 处的切线
垂直于直线 ，则函数 的最小值是____.
【答案】
【详解】因为 且切线垂直于 ，
所以 ，所以 ，所以 .
因为 ，令 ，所以 ，
当 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 的最小值是 ，故答案为： .
9．（2021·福建屏东中学高二期末）已知 ， ，若存在实数 ， 满足，则 的最大值为______．
【答案】
【详解】解： ，且 在 上单调递增，
∴ ， ．设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ．
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，∴ ．
10．（2021·江苏苏州市高二期末）已知函数 ，若方程 恰有两个不
同的实数根m，n，则 的最大值是_________.
【答案】
【详解】作出函数 的图象，如图所示，
由 可得 ，所以 ，即 ，
不妨设 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以当 时， ；当 时， ，当 时， 取得最大值 .
故答案为： .
三、解答题
11．（2021·全国高二课时练）已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的最大、最小值；.
（2）求证：在区间 上，函数 的图象在函数 的图象的下方.
【详解】
（1）由 有 ，
当 时， ,
在区间 上为增函数，
， ，
（2）设 ，
则 ，当 时， ，
且 故 时，
，得证.
12．（2021·大连24中高二期末）已知函数 其中
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间；
（3）若 对于 恒成立，求 的最大值.
【详解】
（1）当 时，函数 ，可得 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）当 时，函数 ，可得 ，
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，
又由 ，
则令 ，可得 ，所以函数 在 上单调递增，
令 ，可得 ，所以函数 在 上单调递减.
综上，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）由 ，得 在 上恒成立，设 ，则 ，
由 ，解得 ，（其中 ），
随着 变化， 与 的变化情况如下表所示：
0
↘ 极小值 ↗
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以函数 的最小值为 .
由题意得 ，即 .
设 ，则 .
因为当 时， ； 当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， .
所以当 ， ，即 ， 时， 有最大值为 .
