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专题5.3.2 函数的极值和最大（小）值
知识储备
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点
x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝
f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点
x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝
f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 .
①函数fx在x 处有极值的必要不充分条件是f′x＝0，极值点是f′x＝0的根，但f′x
0 0
＝0的根不都是极值点例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是极值点.
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间
内部的点，不会是端点.
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在
[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3常用结论
1.对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件.
0 0
2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极
值就是最值.
3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关
系.
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题1．（2020·大同市煤矿第四中学校高三期中（文））已知函数 ，则（ ）
A．函数 的极大值点为
B．函数 在 上单调递减
C．函数 在 上有3个零点
D．函数 在原点处的切线方程为
2．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则
的极小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高二课时练习）若函数 有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（
）
A． B． C． D．
4．（2020·全国高二课时练习）已知可导函数 的导函数为 ，则“ ”是“
是函数 的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2020·全国高二课时练习）已知函数 在 上的最大值为 ，则a
的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国高二课时练习）若函数 在区间 上存在最小值，则实
数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国高二课时练习）已知函数 ，若在定义域内存在 ，使得不等式
成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．（2020·全国高二课时练习）若函数 在区间 上的极大值为最
大值，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020·全国高二专题练习）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有且仅有一个极值点
B． 有零点
C．若 的极小值点为 ，则
D．若 的极小值点为 ，则10．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则函数 没有极值
B．若 ，则函数 有极值
C．若函数 有且只有两个零点，则实数a的取值范围是
D．若函数 有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
11．（2020·全国高二课时练习）定义在R上的函数 ，若存在函数 （a，b为常
数），使得 对一切实数x都成立，则称 为函数 的一个承托函数，下列命题
中正确的是（ ）
A．函数 是函数 的一个承托函数
B．函数 是函数 的一个承托函数
C．若函数 是函数 的一个承托函数，则a的取值范围是
D．值域是R的函数 不存在承托函数
12．（2020·福建莆田市·莆田一中高三期中）设函数 的定义域为 ，已
知 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ）
A． B． 在区间 单调递增
C． 是 的极大值点 D． 是 的最小值
三、填空题13．（2020·全国高二课时练习）已知 是函数 的极值点，则实数 的值为
_______．
14．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知函数 ，当
时，函数 有极值，则函数 在 上的最大值为_________.
15．（2020·全国高二单元测试）对于函数 有下列命题：
①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为 ；
②函数f(x)的最小值为 ；
③该函数图象与x轴有4个交点；
④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.
其中正确命题的序号是_____.
四、双空题
16．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数 .
（1）函数的最大值等于________；
（2）若对任意 ，都有 成立，则实数a的最小值是________.
