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5.3 诱导公式
一、选择题
1．（2018·全国高一课时练习）已知α为锐角，且tan(π-α)+3=0，则sinα等于（ ）
1 3√10 3√7 3√5
A． B． C． D．
3 10 7 5
【答案】B
【解析】由正切的诱导公式得tan(π-α)=-tanα，故tan(π-α)+3=0⇒tanα=3，由公式
1 1 3√10
tan2α+1= 得，cos2α= ⇒sinα=±√1-cos2α=± ，因为α为锐角，所以
cos2α 10 10
3√10
sinα>0⇒sinα= ，故选B
10
π 3
2．（2019·全国高一课时练习）已知α∈( ,π)，tanα=- ，则sin(α+π)=（ ）
2 4
3 3 4 4
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
【答案】B
(π ) 3
【解析】∵α∈ ，π ，tanα=-
2 4
√ 1 4
∴cosα=- =-
1+tan2α 5
3
sinα=√1-cos2α=
5
3
故sin(α+π)=-sinα=-
5
故选B
sin(α-π)+cos(π-α)
3．（2018·全国高一课时练习）设tan(π+α)=2，则 =（ ）.
sin(π+α)-cos(π+α)
1
A．3 B． C．1 D．-1
3
【答案】A
【解析】由tan(π+α)=2,得tanα=2，故
sin(α-π)+cos(π-α) -sinα-cosα sinα+cosα tanα+1
= = = =3.
sin(π+α)-cos(π+α) -sinα-(-cosα) sinα-cosα tanα-14．（2012·全国高一课时练习）tan690∘的值为（ ）
√3 √3
A．- B． C．√3 D．-√3
3 3
【答案】A
√3
【解析】tan690∘=tan(720°-30°)=-tan30°=-
3
故选：A
5．（2018·全国高一课时练习）已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0，则θ是第（ ）象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】试题分析：由sin(θ+π)=-sinθ<0⇒sinθ>0，cos(θ-π)=-cosθ>0⇒cosθ<0，由¿
可知θ是第二象限角，选B.
6．（2012·全国高一课时练习）已知 ， 是第四象限的角，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，而 ，且 是第四象限角，
所以 .故选：A．
7．（2019·全国高一课时练习）已知cos（ ） 且| | ，则tan 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵cos（ ）＝﹣sin ，即 sin ，∵| | ，∴cos ，
则tan ，
故选：C．
8．（2019·全国高一课时练习）已知sin ＝ ，则cos (π＋α)的值为( )
A． B．－ C． D．－
【答案】D
【解析】因为sin ＝cos ＝ ，所以cos(π＋α)＝－cos ＝－ ．
故选D．
9．（2018·广州市培正中学高一课时练习）已知sin θ＝－ ，θ∈(－ ， )，则sin(θ－5π)sin(
－θ)的值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 为第四象限角，
∴ s
故选：C．
10．（2018·全国高一课时练习）已知 ,那么 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因 .故应选A
π
11．（2018·全国高一课时练习）知α为锐角，且2tan(π-α)-3cos( +β)+5=0，
2
tan(π+α)+6sin (π+β)=1，则sinα=（ ）
3√5 3√7 3√10 1
A． B． C． D．
5 7 10 3
【答案】C
sinα
【解析】由已知得¿ ∴tanα=3，∴ =3，又sin2α+cos2α=1，α为锐角，
cosα
3 3√10
∴sinα= = .故选C．
√10 10
π 3π
cos( +α)sin( -α) 25
12．（2018·全国高一课时练习）已知 2 2 ，则f(- π)的值为（ ）
f(α)= 3
cos(-π-α)tan(π-α)
1 1 √3 √3
A． B．－ C． D．－
2 2 2 2
【答案】A
-sinα(-cosα) 25 25 25 π
【解析】f(α)= =cosα，f(- π)=cos(- π)=cos π=cos(8π+ )=
-cosα(-tanα) 3 3 3 3
π 1
cos = .
3 2
二、填空题
13．（2018·全国高一课时练习）若 ，则 __________.
【答案】
【解析】故利用平方和为 ，可知
14．（2018·浙江高一课时练习）若 则 的值
为____________.
【答案】
【解析】
因为
故答案为 .
15．（2014·全国高三课时练习）已知角α终边上一点P（-4，3），则
π
cos( +α)sin(-π-α)
2
的值为_________.
11π 9π
cos( -α)sin( +α)
2 2
3
【答案】－
4
【解析】：因为角 的终边过 ,所以 ，
π
cos( +α)sin(-π-α)
2
则 11π 9π
cos( -α)sin( +α)
2 2
.16．（2018·全国高一课时练习）已知 ，则 _________.
【答案】-2
【解析】
则原式
三、解答题
17．（2018·全国高一课时练习）已知cosα= ，且 ,
求 的值.
【答案】
【解析】原式=
18 ． （ 2016· 全 国 课 时 练 习 ） 已 知 角 是 第 三 象 限 角 ， 且
．
（1）化简 ；
（2）若 求 的值；
（3）若 ，求 的值．2√6
5
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1） .
（2）因为 所以 ，
又角 是第三象限角，所以
所以
（3）因为 ，
所以
19．（2016·全国课时练习）求证： .
【答案】见解析
【解析】证明：左边
右边，所以原式成立．
20．（2018·全国高一课时练习）(1)化简 ; (2)若 ，求的值.
【答案】(1) 见解析;(2)3.
【解析】（1） ,
（2） ,
若 ，则 .
cos( π +α ) ⋅cos(2π-α)⋅sin ( -α+ 3π )
21．（2018·全国高一课时练习）已知 2 2 ．
f (a)=
(3π
)
sin(-π-α)⋅sin +α
2
（1）化简f (a)；
（2）若 是第三象限角，且 ( 3π) 1，求 的值．
α cos α- = f (a)
2 5
2√6
【答案】(1)-cosα；(2)f(α)= .
5
【解析】（1）
cos ( π +α ) ⋅cos(2π-α)⋅sin ( -α+ 3π ) -sinα⋅cosα⋅sin (3π -α )
2 2 2 -sinα⋅cosα⋅(-cosα)
f (α)= = = =-cosα
(3π
)
-sin(π+α)⋅(-cosα) sinα⋅(-cosα)
sin(-π-α)⋅sin +α
2
。
（2）∵ ( 3π) 1,∴ 1，
cos α- =-sinα= sinα=-
2 5 5
又 为第三象限角，∴ √ ( 1) 2 2√6，
α cosα=- 1- - =-
5 5
2√6
∴f (α)= 。
522．（2014·全国高三课时练习（理））已知 ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）－ （2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，即 ，
则原式 ．
（2）∵ ，即 ，
∴原式 ．
