文档内容
5.8 三角函数综合测试卷
一、单选题
1．（2020·上海市七宝中学期中）函数 ， 的最小正周期是（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】A
【解析】
函数 的最小正周期为： .
故选：A
2．（2020·山西运城·月考）函数 ， 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】
，
，
，
则函数的最小正周期为 ．
故选： ．3．（2020·安徽池州·期末（文））函数 ， 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
函数 ，则函数 是奇函数，
排除D，
当 时， ，则 ，排除B，C，
故选：A．
4．（2020·广东中山·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间 上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
A选项， 的定义域为 ，故A不满足题意；
D选项，余弦函数 是偶函数，故D不满足题意；
B选项，正切函数 是奇函数，且在 上单调递增，故在区间 是增函数，即B正确；C选项，正弦函数 是奇函数，且在 上单调递增，所以在区间 是增函数；因此
是奇函数，且在 上单调递减，故C不满足题意.
故选：B.
5．（2019·江门市第二中学期中）已知函数 下列结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 是偶函数
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在区间 上是增函数
【答案】C
【解析】
原函数利用诱导公式化简为： ，此函数为最小正周期为 的偶函数，所以
A,B正确，函数的对称轴由： 得到： ，显然，无论 取任何整数， ，
所以C错误，答案为C.
6．（2020·广东梅州·其他（理））在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将
弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中 )有 ，跨接了6个坐位的宽度(
)，每个座位宽度为 ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示， 为弯管， 为6个座位的宽度，
则
设弧 所在圆的半径为 ，则
解得
可以近似地认为 ，即
于是 ， 长
所以 是最接近的，其中选项A的长度比 还小，不可能，
因此只能选B，260或者由 ，所以弧长 .
故选：B
7．（2020·荣成市教育教学研究培训中心期中）设 为第二象限角，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
,
即
可得： ，解得：
由 可得：
所以 .
故选：A
8．（2020·山西运城·月考）如图是函数 在一个周期内的图
象，则其解析式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由图象可得 ，函数 的最小正周期为 ， ，
将点 的坐标代入函数 的解析式，且函数 在 附近递增，
所以， ，则 ，得 ，
，所以，当 时， ，因此， .
故选：D.
9．（2020·湖北竹溪·月考）若 在 是减函数，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以由 得
因此 ，从而 的最大值为 ，选A.
点睛：函数 的性质：
(1) . (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由
求增区间；
由 求减区间.
10．（2020·山西运城·月考）关于函数 ， ，
，且 在 上单调，有下列命题：
（1） 的图象向右平移 个单位后关于 轴对称
（2）
（3） 的图象关于点 对称
（4） 在 上单调递增其中正确的命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
，
或
或
或 或
因为 在 上单调，所以
因此 或 ， （验证舍去）或
的图象向右平移 个单位得 ，不关于 轴对称，
（1）错；
，（2）对；
，（3）错；
当 时， ，所以 在 上单调递增，（4）对；故选：B
二、多选题
11．（2020·广东期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+ ）﹣cos（ωx+ ）（0＜ω＜6）的图象关于直线x
＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
因为 ，
由 ， ，
因为 ，所以 ， ，
由题意可得 ， ，得 ， ，
因为 ，所以 或 .
故选：BC.
12．（2020·临高县临高中学高一期末）将函数 的图像向左平移 个单位后，得
到函数 的图像，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 最小正周期为
C． 的图象关于 对称 D． 在区间 上单调递增【答案】BCD
【解析】
将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数
的图象，
对A，函数 ，故A错误；
对B，最小正周期为 ，故B正确；
对C，当 ，求得 为最小值，故 的图象关于直线 对称，故C正确；
在区间 上， 单调递增，故D正确，
故选：BCD．
13．（2020·湖南月考）已知函数 ，现给出如下结论，其中正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 是周期函数
C． 在区间 上有三个零点 D． 的最大值为2
【答案】AC
【解析】
∵ ， ，
∴ 是奇函数，A正确；
的周期 ， ， 的周期 ， ，
∵ ，∴ 不是周期函数，B错误；
令 ，得 ，
∴ ， ，或 ， ，
解得 ， 或 ， ，
又 ， 或 或 ，C正确；
当 时， ， ，
当 时， ， ，
∵ ，
即 与 不可能同时取得最大值1，故D错误.
故选：AC.
14．（2020·广东东莞·期末）设函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 的最小正周期是
B． 在 上单调递减，那么 的最大值是
C． 满足
D． 的图象可以由 的图象向右平移 个单位得到
【答案】ABD【解析】
，
对于A: ,即A正确;
对于B: 时， 单调递减，故减区间为 ,
的最大值是 ,故B正确；
对于C: ，
，即 不是 的对称轴，故C
错误；
对于D: 的图象向右平移 个单位得到
,故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
15．（2019·江门市第二中学期中） ________.
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴
故答案为
16．（2020·上海市七宝中学期中）若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，
得 ，
又因为 ，则 ，即 .
17．（2020·山东省泰安第二中学月考）若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
由 可以得到 ，
所以 ，设 ，则则 ，
所以 .
故答案为 .
四、双空题
18．（2019·江门市第二中学期中）已知函数 ，其中 ．若 的值域是
，则实数a的最小值为______，最大值为______．
【答案】
【解析】
当 时， ，
的值域是 ，
， ，
的最小值为 ，最大值为 .
故答案为： ；
19．（2020·湖南茶陵三中高三月考）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于 轴对称．若 ，则 __________， __________．
【答案】
【解析】
因为角 与角 均以 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于 轴对称
所以
所以
故答案为： ，
20．（2019·浙江衢州·高二期中）若 （ ），则 ______，
______.
【答案】
【解析】
由题可知，当 时， （ ）显然无解，故 ，
同时除以 ，得 ，即 ，
，
，故
故答案为： ；
21．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）已知 ， ，则 __________，若 ，
都是锐角，则 ________.
【答案】
【解析】
，
；
，
又 ， 都是锐角且 ，
.故答案为： ； .
五、解答题
22．（2020·广东中山·期末）已知 ， 均为锐角，且 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）由 ， 均为锐角，
可得 在第四象限，
则 ，
所以 ；
（2）由 ，
得 ，
.
23．（2019·江门市第二中学期中）设函数 ．（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【解析】
（1）由题意，函数 ，则 ，
因为函数 是偶函数，所以 ，即 ，
解得 ，
又因为 ，所以 或 ．
（2）由 ，可得 ，
所以 ，可得 ，
又由 .
24．（2020·山西运城·月考）已知
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若关于 的函数 在区间 上有唯一零点，求实数 的取值范围．【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】
（1）
令 ， ，解得 ， ，
∴ 的单调递减区间
（2）由（1）知，函数
在 有零点等价于 在 有唯一根，
∴可得
设 ，
则
根据函数 在 上的图象，
∵ 与 有唯一交点，∴实数 应满足 或 ∴ 或 ．
故实数 的取值范围 或 ．
25．（2019·江门市第二中学期中）已知函数 ．
（1）求函数 的最小值和最大值及相应自变量x的集合；
（2）求函数 的单调递增区间；
（3）画出函数 区间 内的图象．
【答案】（1）最大值为 ，取得最大值时相应x的集合为 ；
最小值为 ，取得最小值时相应x的集合为 ；
（2） ， ；（3）图象见解析．
【解析】
（1） 的最大值为 ，当 ，即 时，等号成立，
∴ 取得最大值时相应x的集合为
的最小值为 ，当 ，即 时，等号成立，
∴ 取得最大值时相应x的集合为（2）由 求得 ，
∴ 的单调递增区间是 ，
（3）列表：
图像如图所示：
26．（2020·湖南月考）如图，在平面直角坐标系中，角 的始边均为 轴正半轴，终边分别与圆 交
x O
于 ， 两点，若 ， ，且点 的坐标为 ．
A B A（ ）若 ，求实数 的值；
1 m
（ ）若 ，若 的值．
2
【答案】（ ） （ ）
1 2
【解析】
（ ）由题意可得 ， ，或 ．
1
， ，即 ， ．
（ ） ，
2
，
，
， ，．
27．（2020·湖南郴州·月考）已知函数 ，它的一个对称中心到最近的
对称轴之间的距离为 ，且函数 图象的一个对称中心为 .
（1）求 的解析式；
（2）确定 在 上的单调递增区间.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）设函数 的周期为 ，由题设得 ，
又∵ 为 图像的一个对称中心，
∴ ，
又∵ ，∴ ，故 ；
（2）由 ， ，
∴ 在 上递增，当 时， 在 递增，由 ，
∴ 在 上的单调递增区间为 ．
