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2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）03
数学·答案及评分标准
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C D C D C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ACD ABD ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．②③④
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【解析】（1）易知 ，
依题意 ，解得 ，（2分）
此时 ，
当 或 时， ；当 时， ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，（5分）
因此函数 在 时取得极值，
所以 ．（6分）
（2）由（1）得函数 在 上单调递减，在 上单调递增；所以 ，（10分）
由题意可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．（13分）
16．（15分）
【解析】（1）记事件 为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为 分 ”，
则 ， ， .（2分）
记事件 为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为 分 ”，
则 ， ， .（4分）
记事件 为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则
，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为 .（7分）
（2）由题知离散型随机变量 的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，
，（8分）
，（9分）
，（10分）
，（11分）
，（12分）
则离散型随机变量 的分布列为
2 4 6 8 10所以数学期望 .（15分）
17．（15分）
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，（2分）
则 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，且 ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，（5分）
所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .（6分）
（2）由题意（1）及几何知识得，
在直四棱柱 中， ，
两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间
直角坐标系.（8分）设 ，则 ， ，
.
设异面直线 与 所成角为 ，则
，
解得： ，（10分）
故 ，
则
设平面 的一个法向量为 ，
到平面 的距离为 .
所以 即 取 ，
得 .（12分）
所以 ，即 到平面 的距离为 .（15分）
18．（17分）资料来源：微信公众号 智慧学库
【解析】（1）由题设得 ，解得 ，
所以 的方程为 ；（5分）
（2）由题意可设 ，设 ， ，
由 ，整理得 ，
．
由韦达定理得 ， ，
由 得 ，（9分）
即 ，
整理得 ，
因为 ，得 ，解得 或 ，
时，直线 过定点 ，不合题意，舍去；
时，满足 ，
所以直线 过定点 ．（10分）
（3））由（2）得直线 ，所以 ，由 ，
整理得 ， ，
由题意得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，（13分）
令 ， ，
所以 ，在 上单调递减，
所以 的范围是 ．（17分）
19．（17分）
【解析】[解]（1） ， ， ； ， ， .
， ， ； ， ， .（5分）
[证明]（2）若 （ ），则有 ，于是 .
当 为正偶数时， 为大于1的正奇数，故 不为正整数.（8分）因为 ， ，…， 均为正整数，所以不存在满足 （ ）的数列 .（10分）
[解]（3） （ ）.
因为 ，于是
.（17分）
