文档内容
四川省大数据精准教学联盟2021级高三第二次统一监测
文科数学参考答案与详细解析
1．【答案】D
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查集合的交集、解不
等式等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。
【解析】依题意 ，B = x|-2≤x≤2 ，则 A ∩ B = x|-3s2 ，故选A．
甲 乙
4．【答案】C
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计简易逻辑问题，主要考查命题的判断，正弦
函数的单调性等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。
π π π
【解析】因为 0<β<α< ，函数 y=sinx 在 - ,
2 2 2
上单调递增，所以 sinα>sinβ，反之，
当sinα>sinβ时，也有α>β成立．所以当α，β均为锐角，则“α>β”是“sinα>sinβ”的充分必
要条件．
5．【答案】B
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查程序框图等基础知识，考查数学推理、数学
运算等数学核心素养。
【解析】依题意，S=2×1+2×2+2×3+2×4+2×5=30．
6．【答案】C
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计三角求值问题，主要考查同角三角函数的
关系，两角差的正弦等基础知识；考查运算求解等数学能力，数学运算等数学核心素养。
π
【 解 析 】由 α∈ ,π
2
π
，sin α+
6
1 π
= ，有 cos α+
5 6
2 6
=- ，所 以 sinα =
5
π
sin α+
6
π
-
6
π
= sinα+
6
π π
cos - cosα+
6 6
π 1 3 2 6
sin = × - -
6 5 2 5
1
× =
2
3+2 6
．
10
文科数学第1页（共8页）7．【答案】B
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查直线与圆的方程、轨迹的求法等基础知识，
考查学生运算求解、推理论证等能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、
逻辑推理、数学运算、数学建模等数学核心素养。
【解析】直线l：mx-2y-2m-8=0即(x-2)m-2y-8=0，所以l过定点A2,-4
．由题
意可知，点 P 在以线段 OA（O 为原点）为直径的圆上．该圆的圆心为 M 1，-2 ，半径为
(2-0)2+(-4-0)2
= 5，故x ，y 满足的关系为(x -1)2+(y +2)2=5．
2 0 0 0 0
8．【答案】A
A C
O
G
F
D E B
【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查几何概型等基础知识，考查直观想象、数学
运算等数学核心素养。
【解析】
3
如图，不妨设该正三角形剪纸设计图的边长为2，则内切圆O的半径r= ，△ABC为边长
3
3 1
为1的正三角形，菱形DEFH对角线DF= ，则菱形DEFH的边长为 ，则每个菱形的面积
3 3
1 3 1 3 3 3 3 π 3
为 × × = ，故阴影部分的面积S =π( )2- ×12+3× = - ，则
2 3 3 18 1 3 4 18 3 12
π 3
-
3 12 3π 1
在该正三角形纸片内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为P= = - ．
3 9 12
×22
4
9．【答案】B
【命题意图】本小题设置课程学习情境，本题主要考查双曲线的定义、余弦定理；考查逻辑推
理、数学运算能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想；考查逻辑推理、数学运算等数学核
心素养。
【解析】
y
B
F 1 O F 2 x
A
如图，由于∣AF ∣=2∣FB∣，∣AB∣=∣BF ∣，且∣BF ∣-∣BF ∣=2a，∣AF ∣-∣AF ∣=2a，设∣BF ∣=m，则
1 1 2 2 1 2 1 1
∣AF ∣=2m，故∣BF ∣=3m，可得m=a，∣BF ∣=a，∣AF ∣=2a，故∣BF ∣=3a，∣AF ∣=4a，在∆BAF 中
1 2 1 1 2 2 2
9a2+9a2-16a2 1
由余弦定理cos∠FBF = = ．
1 2 2×3a×3a 9
文科数学第2页（共8页）10．【答案】D
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计三角函数图象问题，主要考查正弦型函数
的周期，单调性，图象平移，特殊角的三角函数值等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能
力；考查数形结合等数学思想；考查数学运算素养，逻辑推理素养以及应用意识。
【解析】因为函数 fx 的周期为 π，所以 ω=2，故 fx
2π
= sin2x+
3
，此时 f0 =
2π 3 π 2π 2π 4π
sin = ，结论①正确；当06.635，4分
100×150×150×100
所以，有99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系．6分
（2）根据题意，抽取的6名客户中有女性2人（记为A ,A ）、男性4人（记为B ,B ,B ,B ）．
1 2 1 2 3 4
7分
从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有：(A ,A )，(A ,B )，(A ,B )，(A ,B )，(A ,B )，
1 2 1 1 1 2 1 3 1 4
(A ,B )，(A ,B )，(A ,B )，(A ,B )，(B ,B )，(B ,B )，(B ,B )，(B ,B )，(B ,B )，(B ,B )，共15
2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
个．
其中，至少有1名女性的基本事件有9个．
9 3
所以，所抽取的2名同学中至少有1名女性的概率为 即 ．12分
15 5
18．（12分）
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计递推数列问题，主要考查递推数列与等差
数列的通项公式，裂项相消求和等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化等数学思想；考查
数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
【解析】
1 1 a -1
（1）由a + =2，有a -1=1- = n ，
n+1 a n+1 a a
n n n
1 a 1
所以 = n = +1，2分
a -1 a -1 a -1
n+1 n n
3 1
因为a = ，所以 =2，
1 2 a -1
1
1
所以数列
a -1
n
是以2为首项，1为公差的等差数列． 4分
1
所以 =2+n-1
a -1
n
×1=n+1，
n+2
即a = ，
n n+1
即数列a
n
n+2
的通项公式为a = ．6分
n n+1
（2）由（1）的结论可得，
n+2
b = -1
n n+1
n+3
-1
n+2
1
=
n+1 n+2
1 1
= - ，9分
n+1 n+2
所以，
1 1
S = -
n 2 3
1 1
+ -
3 4
1 1
+⋯+ -
n+1 n+2
1 1 n
= - =
2 n+2 2n+2
．12分
19．（12分）
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查立体几何中线面平行的性质定理、线面垂直
的判定定理以及三棱锥的体积公式；考查空间想象、化归与转化等数学思想；考查学生的数学
运算、逻辑推理等数学核心素养。
文科数学第5页（共8页）【解析】
（1）连接C B，
1
因为DE⎳平面BCC B ，DE⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BCC B =C B，
1 1 1 1 1 1 1
所以DE∥C B．3分
1
由AE=2EB，有AD=2DC ．
1
所以AC=2A C =2 13．6分
1 1
（2）易知AC2=AB2+BC2，
所以AB⊥BC． 8分
因此，三棱锥C-A B C 底面A B C 上的高h=BB =2，
1 1 1 1 1 1 1
1
又△A B C 的面积为S = ×2×3=3，10分
1 1 1 1 2
1 1
所以其体积为V= S h= ×3×2=2．12分
3 1 3
20．(12分)
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查导数几何意义、极值，函数与导数、不等式等
知识的综合应用，考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想，考查数学抽象、逻辑推
理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
a
（1）由 f(x)=ex- x3-1，得 f(x)=ex-ax2，
3
1 x2
由 f(x)存在极值，则 f(x)=ex-ax2=0，知a≠0，则 = 有3个不相等实数根，
a ex
x2 2x-x2 -x(x-2)
令g(x)= ，则g(x)= = ，
ex ex ex
当x<0时，g(x)<0，g(x)单调递减；当00，g(x)单调递增；当x>2时，g
(x)<0，g(x)单调递减．
4
则g(x)在x=0时取极小值g(0)=0，g(x)在x=2处取得极大值g(2)= ，
e2
又x→-∞时，g(x)→+∞；x→+∞时，g(x)→0，又g(x)>0．
1 4 e2
所以，f(x)=0有3个不相等实数根时，0< < ，即a> ，
a e2 4
e2
所以，f(x)有3个极值点时，a的取值范围是 ，+∞
4
．6分
a
（2）由 f(x)≥ax2+x，得ex- x3-ax2-x-1≥0，
3
a
令h(x)=ex- x3-ax2-x-1，得h(x)=ex-ax2-2ax-1，知h(0)=0，h(0)=0，
3
令u(x)=h(x)=ex-ax2-2ax-1，则u(x)=ex-2ax-2a，
又令v(x)=u(x)=ex-2ax-2a，则v(x)=ex-2a，知v(0)=1-2a，v(0)=1-2a，
9分
1
由于a≤ ，则v(0)=1-2a≥0，
2
又函数v(x)=ex-2a单调递增，则v(x)≥v(0)≥0，
故x≥0时，v(x)即u(x)单调递增，则u(x)≥u(0)=1-2a≥0，
所以，当x≥0时，u(x)即h(x)单调递增，则h(x)≥h(0)=0，
故当x≥0时，h(x)单调递增，则h(x)≥h(0)=0，
1
所以，当x≥0，a≤ 时，f(x)≥ax2+x．12分
2
文科数学第6页（共8页）21．（12分）
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查抛物线的定义、圆与圆的位置关系、向量共
线、相交弦定理、重要不等式等基本知识，考查学生抽象概括、逻辑推理、运算求解的能力，考查
学生数形结合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
（1）设动圆Q的半径为r，且r>1．
因为圆Q与圆P内切，
所以|QP|=r-1．1分
因为圆Q与直线l ：y=-3相切，
1
所以点Q到P(0，2)的距离等于点Q到直线l ：y=-2的距离，2分
2
即曲线C是以P(0,2)为焦点，直线l ：y=-2为准线的抛物线． 3分
2
所以曲线C的方程为x2=8y． 4分
x2 x2 x2
（2）设A(x , 1)，B(x , 2)，则A (x ,-2)，OA =(x ,-2)，OB=(x , 2)．
1 8 2 8 1 1 1 1 2 8
x2
因为A ，O，B三点共线，所以OA ⎳OB，x ∙ 2 +2x =0，
1 1 1 8 2
所以x x =-16．5分
1 2
x x
因为l ：y= 1x，l ：y= 2x，
AO 8 BO 8
16 16
所以M(- ,-2)，N(- ,-2)．6分
x x
1 2
16 16 256
所以MP=( ,4)，NP=( ,4)，MP∙NP= +16=0，
x x x x
1 2 1 2
所以MP⏊NP，
所以点P在以MN为直径的圆上． 8分
设直线l ：y=-2与y轴交于点H(0,-2)，
2
由射影定理可知|HM||HN|=|HP|2=16． 9分
所以|MN|2=|HM -HN|2=|HM|2+|HN|2-2HM ∙HN
=|HM|2+|HN|2+2|HM|∙|HN|
≥4|HM|∙|HN|=64．11分
所以|MN|≥8，当且仅当|HM|=|HN|时等号成立．
所以线段MN长度的最小值为8． 12分
22．[选修4－4：坐标系与参数方程（] 10分）
【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查椭圆的极坐标方程与直角方程的相互转化；
考查运算求解、逻辑推理、运算求解等数学能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想；考查
数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
（1）由C 的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-4=0，
2
可知，其直角方程为x2+4y2-4=0，
x2
即 +y2=1．2分
4
文科数学第7页（共8页）（2）易知点P(1, 3)在图形C 上，
1
1
x=1+ t，
2
所以C 的参数方程可写为 (t为参数)．4分
1 3
y= 3+ t
2
x2
将其代入 +y2=1 ，得13t2+52t+36=0． 6分
4
36
设A，B，Q所对应参数分别为t ，t ，t ，则t +t =-4，t t = ．7分
1 2 0 1 2 1 2 13
|AP| |AQ|
由 = ，得|t |⋅|t -t |=|t |⋅|t -t |，
|BP| |BQ| 1 0 2 2 0 1
即|t t -t t |=|t t -t t |． 8分
0 1 1 2 0 2 1 2
所以t t -t t =t t -t t 或t t -t t =t t -t t ，
0 1 1 2 0 2 1 2 0 1 1 2 1 2 0 2
即t t =t t 或t (t +t )=2t t ．
0 1 0 2 0 1 2 1 2
2t t 18
易知t ≠t ，t ≠0，所以t = 1 2 =- ，9分
1 2 0 0 t +t 13
1 2
4 4 3
所以点Q的直角坐标为 ,
13 13
．10分
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
【考查意图】本小题设置探索创新情境情境，主要考查均值不等式、不等式证明方法等基础知
识；考查化归与转化等数学思想，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】
-5x+2，x<0，
（1）依题意，f(x)=-3x+2，0≤x≤1，1分
x-2，x>1，
函数 f(x)与g(x)的图象无公共点，只需方程 f(x)=g(x)在x>1时无解．
所以x-2=-2x2+8x+m，即2x2-7x-2=m在x>1时无解，
所以m<(2x2-7x-2) ，x∈(1，+∞)，3分
min
7 65 65
因为2x2-7x-2=2(x- )2- ，当x∈(1，+∞)时，(2x2-7x-2) =- ，
4 8 min 8
65
所以，m<- ，
8
65
故函数 f(x)与g(x)的图象无公共点时，m的取值范围是(-∞，- )．5分
8
（2）由（1）可知，函数 f(x)的最小值T=-1．6分
所以，只需证明不等式a2+b2-ab-a-b≥-1即a2+b2-ab-a-b+1≥0即可．
1
a2+b2-ab-a-b+1= (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)
2
1
= [(a2+b2-2ab)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)]
2
1
= [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]
2
≥0，
当且仅当a=b=1时等号成立．
所以a2+b2-ab-a-b≥T． 10分
文科数学第8页（共8页）
