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赤峰市高三年级 3·20 模拟考试试题
理科数学
2024.03
本试卷共23题，共150分，共8页，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并
交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内．
2．选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知全集 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．棣莫弗公式 （其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-
1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若向量 与 满足 ．且 ， ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．命题“ ， ， ”的否定形式是（ ）
A． ， ， ． B． ， ， ．
C． ， ， ． D． ， ， ．
5．已知 是定义在R上的偶函数，且周期 ．若当 时， ，则 （
学科网（北京）股份有限公司）
A．4 B．16 C． D．
6．在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离
y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）
A． B． C． D．
7．正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有4名
大学生将前往3处场地A，B，C开展志愿服务工作．若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加
且只能去一处场地，则当甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的
另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为 ，其左、右焦点分别
是 ， ，直线l与椭圆C切于点P，且 ，过点P且与直线l垂直的直线 与椭圆长轴交于点M，
则 （ ）
A． B． C． D．
9．已知 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为 的等腰三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．等腰直角三角形
10．已知数列 满足 ，若 ， 的所有可能取值构成集合M，则M中
的元素的个数是（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
11．在直三棱柱 中，各棱长均为2，M，N，P，Q分别是线段 ， ， ， 的中
点，点D在线段 上，则下列结论错误的是（ ）
A．三棱柱 外接球的表面积为 B．
C． 面 D．三棱锥 的体积为定值
12．已知F是双曲线 的左焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，
垂足为M，且直线l与双曲线C的右支交于点N，若 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 的展开式中x的系数为______
14．已知圆 ，直线 被圆C截得的弦长为______
15．已知函数 的部分图象如图所示，若将 的图
象向左平移 个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为______
学科网（北京）股份有限公司16．定义在 上的函数 满足：对任意 都有 ，且当
时， 恒成立．下列结论中可能成立的有______
① 为奇函数；
②对定义域内任意 ，都有 ；
③对 ，都有 ；
④ ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知数列 ，______．在①数列 的前n项和为 ， ；②数列 的前n
项之积为 ，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条
件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前n项和 ．
18．（12分）2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一
条自动包装流水线的生产情况．随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），
质量的分组区间为 ， ，…， ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
学科网（北京）股份有限公司（1）根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值 ；
（2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值 服从正态分布 ，
其中 近似为（1）中的样本平均值 ，计算该批产品质量指标值 的概率；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望．
附：若 ，则 ，
， ．
19．（12分）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调递增区间；
（3）若函数 在区间 上只有一个极值点，求a的取值范围．
20．（12分）已知正方体 ，棱长为2．
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ．
（2）若平面 平面 ，且平面 与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图
形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值．
（3）在（2）的情形下，设平面 与正方体的棱 、 、 交于点E、F、G，当截面的面积最大时，
求二面角 的余弦值．
21．（12分）已知抛物线 上一点Q的纵坐标为4，点Q到焦点F的距离为5．过点
F做两条互相垂直的弦 、 ，设弦 、 的中点分别为M、N．
（1）求抛物线P的方程．
（2）过焦点F作 ，且垂足为G，求 的最大值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第
一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．选修4-4：坐标与参数方程（本题满分10分）：
已知在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
（ 为参数， ）．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）已知M，N分别是曲线 ， 上的动点，求 的最小值．
23．选修4-5：不等式选讲（本题满分10分）
学科网（北京）股份有限公司已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求m的取值范围．
赤峰市高三年级 3.20 模拟考试试题
理科数学答案
2024.03
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A C B D A D B B C D
二、填空题：
13．80 14． 15． 16．①③④
解答题：
17．解：（1）选①，当 时， ，即
当 时， ①
②
① ②得： ，即
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列
所以
选②，当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， 符合上式．
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列
学科网（北京）股份有限公司所以
（2）因为 ，所以 ，
所以
18．解（1）由频率分布直方图可知，
质量超过515克的产品的频率为 ，
质量超过515克的产品数量为 （件）
（2）由题意可得 ，
则 ，
则该批产品质量指标值 的概率：
（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，
该产品的质量超过515克的概率为
所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布．
故，质量超过515克的件数Y可能的取值为0，1，2，且
，
学科网（北京）股份有限公司， ，
的分布列为
Y 0 1 2
P
Y的均值为 或者
19．解（1）：当 时， ，则 ，
所以， ， ，
故当 时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）当 时， ，该函数的定义域为 ，
，
由 ，即 ，解得 或 ，
因此，当 时，函数 的单调递增区间为 、
（3）法Ⅰ：因为 ，则 ，
令 ，因为函数 在 上有且只有一个极值点，
则函数 在 上有一个异号零点，
当 时，对任意的 ， 恒成立，无零点，故不符合题意；
当 时，函数 在 上单调递增，
因为 ，只需 ，故 符合题意；
学科网（北京）股份有限公司当 时，函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
因为 ，只需 ，故 不符合题意，舍去
综上所述，实数a的取值范围是 ．
法Ⅱ：令
则 有根．
令
设
由题意可知
20．证明：（1）连接 ，
因为 是正方体，所以 平面 ，因为 平面 ，所以
又因为四边形 是正方形，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．同理：
又因为 ，所以 平面 ．
（2）截面图形为如图所示的六边形
根据题意知截面面积最大时，图形是边长为 的正六边形，
所以最大的截面面积为
（3）因为平面 平面 ，所以当截面 的面积最大时，E、F、G分别是棱 、 、 的
中点，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系
， ， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量是 ，
， ，
令 ，则 ， ，
设平面 的一个法向量是 ， ，
，令 ，则 ， ，则
设二面角 的平面角为 ，由图知 为锐角，所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
21．解：（1）由题可知，
解得， 或 （舍）
所以，抛物线P的方程为
（2）设直线 ， ， ，
联立 ，可得 ，则得 ， ，
，同理
① 时，
②当 时，
学科网（北京）股份有限公司根据曲线对称性可知，令 时，则 ．所以直线 恒过点
又 ，所以点G在以 为直径的圆上，且轨迹方程为 ，
由几何图形关系可知， 的最大值为3
22．解：（1）由 ，可得
消去参数 得 ，
所以曲线 的普通方程为 ，又因为
所以曲线 的普通方程为
（3）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以设点M的坐标为 ，
设圆心 与 上任意一点的距离为d
则
设 ， ，则 ， ，
所以
23．解：①当 时， ，即
当 时，不等式化为 ，解得 ，所以
当 时，不等式化为 ，解得
当 时，不等式化为 ，解得 ，所以
综上，原不等式的解集为
学科网（北京）股份有限公司②若 恒成立，即
因为 （当且仅当 时，等号成立），
所以 ，即 或 ，
解得 或
故m的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司
