文档内容
6.2.2 组合及组合数（精讲）
思维导图
常见考法考法一 组合的概念
【例1】（2020·广东湛江高二单元测试）给出下列问题：
①有10个车站，共需要准备多少种车票？
②有10个车站，共有多少中不同的票价？
③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？
④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？
⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？
以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).
【答案】②④
【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，
属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属
于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按
一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当
于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞
赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题
中，属于排列问题的是②④.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地
【答案】C
【解析】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.故选：C.
2．（2020·全国高二课时练习）下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为 中的底数与真数
A．①④ B．①② C．④ D．①③④
【答案】A【解析】排列的概念：从 个元素中取 个元素，按照一定顺序排成一列，
由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，由此可判断出：①④是排列问题，故选：
A.
考法二 组合数
【例2】（1）（2020·广东云浮·高二期末） （ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·湖北高二期末）满足条件 的自然数 有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】（1）D（2）C
【解析】（2） ．故选：D.
（2）由 得 ，即 ，
又 ，且 ，所以 .故选：C.
组合数的两个性质：（1） ；（2） ．
【一隅三反】
1．（2020·陕西高二期末）若 ，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】根据题意， 变形可得， ；
由组合性质可得， ，即 ，则可得到 .故选：B.
2．（2020·林芝市第二高级中学高二期中）已知 ，那么 （ ）
A．20 B．30 C．42 D．72
【答案】B【解析】 答案选B
3．设n为满足不等式 的最大正整数，则n的值为（ ）．
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
又 ， ，
，由 得： ，
， ， ， ，
的值为 .故选： .
4．（多选）下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】A. ，故正确；
B. ，故正确；
C. ，故错误；
D. ，故正确.
故选： ABD5．（多选）（2020·江苏省丰县中学高二期末）如下的四个命题中真命题的标号为（ ）
A．
B．
C．
D． 的展开式中二项式系数最大的项是
【答案】BCD
【解析】由于 ，故A错误；
由组合数的性质： ， ，故B正确；
，故C正确；
的展开式中二项式系数最大的项是 ，故D正确.
故选： BCD
考法三 组合应用
【例3】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中
各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
【答案】（1）120 （2）246 （3）196 （4）191
【解析】(1)分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有C种选法；
第二步，选2名女运动员，有C种选法．由分步计数原理可得，共有C· C＝120(种)选法．
(2)方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理可得总选法共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．方法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．
从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．所以“至少有1名女运动员”的选法有
C－C＝246(种)．
(3)方法一 (直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为C；“只有女队长”的选法种数为C；
“男、女队长都入选”的选法种数为C，所以共有2C＋C＝196(种)选法．
方法二 (间接法)从10人中任选5人有C种选法，
其中不选队长的方法有C种．所以“至少有1名队长”的选法有C－C＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不
含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(C－C)种．所以既要有队长又要有女运动员的选
法共有C＋C－C＝191(种)．
【方法总结】
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个
关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向
思维，用间接法处理．
【一隅三反】
1．（2020·江苏金湖中学）一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1 )从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法：红球 个，红球 个和白球 个.
当取红球 个时，取法有 种；
当取红球 个和白球 个时，.取法有 种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有 种.
(2 )使总分不少于 分情况有两种：红球 个和白球 个，红球 个和白球 个.
第一种，红球 个和白球 个，取法有 种;
第二种，红球 个和白球 个，取法有 种,
根据分类计数原理，使总分不少于 分的取法有 种.
2．（2020·云南省保山第九中学）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中
有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进
行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
【答案】（Ⅰ）2，1；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是 ，
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率 ；
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率 ．
3．（2020·江苏高二）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列
情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员.
【答案】（1）共有 (种)选法；（2）246；（3）191.
【解析】⑴第一步：选3名男运动员，有 种选法.
第二步：选2名女运动员，有 种选法.
共有 (种)选法.
⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.
从10人中任选5人，有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种.
所以“至少有1名女运动员”的选法有 (种).
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中
不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时共有 种选法.故既要有队长，又要有女运动员的
选法有 (种).
