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6.2.3 排列组合的综合运用（精讲）
思维导图常见考法
考法一 全排列
【例1】（2020·全国专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同
的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】D
【解析】由题意可得不同的采访顺序有 种，故选：D.
【一隅三反】
1．（2020·全国专题练习）2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医
疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同
的分配方法有（ ）
A．64种 B．48种 C．24种 D．12种
【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有 种方法．故选：C．
2．（2020·吉林吉林市·高二期末）将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（ ）
A．50 B．60 C．120 D．90
【答案】C
【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有
种，故选：C．
3．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法
有（ ）
A．3种 B．6种 C．12种 D．5种
【答案】B
【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列： .故选：B
考法二 相邻问题
【例2】（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､
乙二人相邻的排法种数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
【答案】C
【解析】先安排甲､乙相邻，有 种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，
故有排法种数为 .故选：C
【一隅三反】
1．（2020·全国专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发
言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）
A．8种 B．12种 C．20种 D．24种
【答案】C
【解析】当甲排在第一位时，共有 种发言顺序，当甲排在第二位时，共有 种发言顺序，所以一共有 种不同的发言顺序.故选：C.
2．（2020·湖北随州市·高二期末）5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
【答案】C
【解析】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有 种排列的方法.故选：C.
3．（2020·重庆高二期末）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现
有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法.
A．24 B．120 C．240 D．140
【答案】C
【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有 种排法，而2
个女生可以交换位置，所以共有 排法，故选：C.
4.（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学）把座位号为 、 、 、 、 、 的六张电影票全部分给甲、乙、
丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，
则在座位号 、 、 、 、 、 的五个空位插3个板子，有 种，
然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有 种，所以不同的分法种数为 ,故选：B
考法三 不相邻问题
【例3】（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生
在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室
供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（ ）种安排方式.
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·北京高二期末）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种
数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有 种排法；
②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有 种情况；则有 种排法；
故选：D.
2．（2020·北海市教育教学研究室高二期末）若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻
的排法有（ ）
A．12种 B．14种 C．5种 D．4种
【答案】A
【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有 种排法；第二步，从3个可
插空档给甲、乙、丙3人排队有 种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有 种排法.故答案选A
3．（2020·四川省新津中学）五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为 ．故选：B．
4．（2020·重庆市第七中学校高二月考）现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个
栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2
篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种.
A．24 B．36 C．72 D．144
【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：
①，在4个视频中任选2个进行学习，有 种情况，
②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有 种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情
况有 种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，
则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种；故选：C
考法四 分组分配
【例4】（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去
一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．240种
【答案】C
【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；
分为1，2，2时安排有 ;分为1，1，3时安排有
所以一共有 故选：C
【一隅三反】
1．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校）有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发（G77只会在
长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ）
A．24种 B．36种 C．81种 D．256种
【答案】B
【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有 种分法，再分配到三个站点，
有 种分法，所以一共有 种不同的下车方案.故选：B.
2．（2020·河北）特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为
本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2
名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）
A．24 B．14 C．12 D．8【答案】C
【解析】先把4名数学教师平分为2组，有 种方法，
再把2名体育教师分别放入这两组，有 种方法，
最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有 种方法.故选：C.
3．（2020·江西高二期末）江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司
为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员
只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（ ）
A．60 B．90 C．150 D．240
【答案】C
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将五名工作人员分成3组，
若分为3、1、1的三组，有 种分法，
若分为2、2、1的三组， 种分法，
则有 种分组分法；
②将分好的三组全排列，对应三个景点，有 种情况，
则有 种分配方法；故选： ．
4．（2020·四川达州市·高二期末）公元2020年年初， 肆虐着中国武汉，为了抗击
，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三
个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
【答案】A
【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有 种分组方法；
②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有 种情况，
则有 种不同的安排方法.
故选：A.
5．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校高二期末）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低
到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，
至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有 种分法；
其中伯爵恰有两人的分法有 种分法，
伯爵恰有两人的概率 .故选： .
考向五 几何问题
【例5】（2020·全国）如图， 的边 上有四点 、 、 、 ， 上有三点 、 、
，则以 、 、 、 、 、 、 、 中三点为顶点的三角形的个数为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用间接法，先在 个点中任取 个点，再减去三点共线的情况，
因此，符合条件的三角形的个数为 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·湖南高三开学考试）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个
A．70 B．64 C．60 D．58
【答案】D
【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有 种取法，排除其
中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有 个.故选：D.
2．（2020·昆明呈贡新区中学）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的
区域数最多为（ ）
A．32 B．15 C．16 D．31
【答案】D
【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加
一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，
所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得
总的区域数为 ，此题 ，所以最多可分为31个区域.故选：D.
3．（2020·北京丰台区·高二期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（ ）
A．21 B．28 C．42 D．56
【答案】B
【解析】线段由 个端点组成，因此只需要从 个点中选取 个即可构成一条线段，
所以线段条数为 ，故选：B.4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）以长方体 的任意三个顶点为顶点
作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种
A．1480 B．1468 C．1516 D．1492
【答案】B
【解析】因为平行六面体 的8个顶点任意三个均不共线，
故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有 个三角形，
从中任选两个，共有 种情况，
因为平行六面体有六个面,六个对角面，
从8个顶点中4点共面共有12种情况，
每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，
故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.
考向六 方程不等式问题
【例6】（2020·全国）方程 的正整数解的个数__________.
【答案】
【解析】问题中的 看作是三个盒子，问题则转化为把 个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将 个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的 个空内． 共有 种．故答案为：
【一隅三反】1．（2021·山西太原市）三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有_____.
【答案】
【解析】由 ,则
设 ，则 且 ，
则三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数等价于 , 的解的个数,等价于将16
个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，
又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔
板隔开即可，则共有 种分法，即三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有 个，
故答案为： .
2．（2020·四川雅安市·雅安中学高二月考）方程 的正整数解共有（ ）组
A．165 B．120 C．38 D．35
【答案】A
【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，
在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是
、 、 、 ，显然满足 ，故 是方程 的一组
解，
反之，方程 的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，
故方程 的正整数解的数目为： ，故选：A.
考向七 数字问题【例7】（2020·南通西藏民族中学）从 ， ， ， ， ， 中任取三个不同的数相加，则不同的结果
共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为 ，和的最大值为 ，
所以当从 ， ， ， ， ， 中任取三个数相加时，则不同结果有 种．故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·全国）在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个
不同数的中位数的所有取法种数为( )
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，
在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有 种，故选： ．
2．（2020·广东汕尾市·高二月考）从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的
六位数，其中偶数共有（ ）
A．312个 B．1560个 C．2160个 D．3120个
【答案】D
【解析】从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种
情况：
①、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有 个；
②、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首
位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有 个；
则满足要求的偶数共有 个.
故选：D.
3．（2020·浙江高三其他模拟）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被
3整除，则不同的选取方法有（ ）A．55种 B．61种 C．64种 D．70种
【答案】A
【解析】对三个数中有没有6进行分类：
①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即 种；
②不含6时，则需要3与9．
当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即 种；
当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即 种．
综上所述，不同的选取方法有55种，
故选：A．
