文档内容
第六章 平面几何及其应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
一、基础巩固
1．若直线 经过点 ，且直线 的一个法向量为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设直线 上的动点 ,则 ，
,
直线 的方程为 ，
2．已知 ， ， ，则 的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【详解】
， ，
，
， ，
为直角三角形.3．已知 的面积为2,在 所在的平面内有两点 、 ,满足 , ,则
的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】
解:由题意 可知, 为 的中点,
,可知 为 的一个三等分点,如图：
因为 .
所以 .
4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 且 ， ， ，则
的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定
【答案】B
【详解】
， ，可化简为： ，
所以 的形状为直角三角形.
5．已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
若 ，则 ，解得 .
因为 与 的夹角为锐角，∴ .
又 ，由 与 的夹角为锐角，
∴ ，即 ，解得 .
又∵ ，所以 .
6．在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【详解】
， ，则 为钝角，
“ ” “ 是钝角三角形”，
另一方面，“ 是钝角三角形” “ 是钝角”.
因此，“ ”是“ 为钝角三角形”的充分非必要条件.
7．设平面向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为 与 的夹角为锐角，
所以 ，
向量 ， ，
所以 ，
整理得 ， ，
所以 的范围为 .
8．在△ABC中， ＝ ， ＝ ，且 0，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【详解】
由题意 ，∴ ， ， ，又 是三角形内角，
∴ ．
∴ 是钝角三角形．
9．在直角三角形 中， 是斜边 的中点，则向量 在向量 方向上的
投影是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图：
向量 在向量 方向上的投影是
,
10．（多选）如图， 中， ，E为CD的中点，AE与DB交于F ，
则下列叙述中，一定正确的是（ ）
A． 在 方向上的投影为0
B．
C．D．若 ，则
【答案】ABC
【详解】
因为在 中， ，在 中，由余弦定理得
，所以满足
，所以 ，
又E为CD的中点，所以 ，
所以 ， ，
对于A选项： 在 方向上的投影为 ，故A正确；
对于B选项： ，故B正确；
对于C选项： ，故C正确；
对于D选项： ，设 ，所以 ，解得
（负值舍去），故D不正确，
11．（多选）已知 ， ,且 与 夹角为 ，则 的取值可以是（ ）A．17 B．-17 C．-1 D．1
【答案】AC
【详解】
解:因为 ,
且 ， , 与 夹角为 .
所以 ,
解得 或 .
12．（多选）已知 是边长为2的等边三角形， ， 分别是 、 上的两点，且 ，
， 与 交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 在 方向上的投影为
【答案】BCD
【详解】
由题E为AB中点，则 ，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以， ，
设 ， ∥ ，
所以 ，解得： ，
即O是CE中点， ，所以选项B正确；
，所以选项C正确；
因为 ， ，所以选项A错误；
， ，
在 方向上的投影为 ，所以选项D正确.
二、拓展提升
13．已知位置向量 , , 的终点分别为 , , ,试判断 的形状.
【答案】 为等腰直角三角形
【详解】
， ， ， ，
,
,所以 为等腰直角三角形.
14．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量 ＝（sin A，sin B）， ＝（cos B，cosA），且 · ＝sin 2C.
（1）求角C的大小；
（2）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且 ·（ － ）＝18，求边c的长.
【答案】（1） ；（2）6.
【详解】
（1）由已知得 · ＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以 · ＝sin C，又 · ＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，所以cos C＝ .
又0＜C＜π，所以C＝ .
（2）由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为 ·( － )＝ · ＝18，
所以abcos C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
15．在 中， ， ， ，点 ， 在 边上且 ，
.（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
（2）先由题意，得到 ， ，再由向量数量积的运算法则，以及题
中条件，得到 ，即可求出结果.
【详解】
（1）设 ， ，
则 ， ，因此 ，
所以 ，
，
（2）因为 ，所以 ，
同理可得， ，
所以，
∴ ，即 ，
同除以 可得， .
