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第八章 立体几何初步
8.6.1-8.6.2直线与直线垂直、直线与平面垂直
一、基础巩固
1．已知直线 ， ．若 ，则实数 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】
若 ，则 ，解得 或 .
2．设 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列命题中不正确的一个是（ ）
A．若 ， 则 B．若 ， ，则
C．若 ， 则 D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】
选项A．若 ， ，则 ,正确.
选项B．若 ， ，则 ,正确.
选项C．若 ， ,则 ，正确.
选项D. 若 ， ，则 与 可能平行，也可能异面，所以不正确.
3．已知两条不重合的直线 和 两个不重合的平面 和 ，则下列说法正确的为（ ）
A．若 ， ，则B．若 ， ，则 ， 为异面直线
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ， ，则
【答案】C
【详解】
解：对于A，可能 ，故A不正确；
对于B， ， 的位置可能是平行直线，可能是相交直线，也可能是异面直线，故B不正确；
对于C，由垂直于同一平面的两条直线平行，得出 ，所以C正确；
对于D，根据面面平行的判定定理可知，对应平面内的直线如果两条直线是相交的，则两个平面是平行的，
故D不正确.
4．已知 是三条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线 平面 的
是（ ）
A． ，其中 B．
C． D．
【答案】D
【详解】
A中缺少条件“ 与 相交”；B中，当 时， 与 可能平行，可能相交，也可能 ；C
中， 与 可能平行，可能相交，也可能 .对于D选项，两条平行直线中有一条垂直于一个平面，
则另一条也垂直这个平面，D选项正确.
5．在三棱锥 中， ，过 作 平面 ， 为垂足， 为 的中点，则下列
结论中肯定成立的是（ ）
A． B．
C． D． ， ， 三点共线【答案】B
【详解】
平面 ， 平面 ， ，
，点 是 的中点， ， ，
平面 ， 平面 ， ，
，故B正确；
不能推出 选项.
6．设m，n是两条不同的直线， 是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【详解】
对①，若 ，则 和 可能相交，平行或在平面内，故①错误；
对②，若 ，则由面面垂直的判定定理可得 ，故②正确；
对③，若 ，则由线面垂直的性质可得 ，故③正确；
对④，若 ，则 和 平行或异面，故④错误.7．如图所示，已知正三棱柱 的所有棱长均为1，则四棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
取 中点 ,连接 ,
因为正三棱柱 ，所以 为正三角形，所以 ,
因为正三棱柱 ，所以平面 平面 ，
因此 平面 ，
从而四棱锥 的体积为 ,
8．如图，正方体 的棱长为 ，下面结论错误的是（ ）A． 平面
B． 平面
C．异面直线 与 所成角为
D．三棱锥 体积为
【答案】D
【详解】
A选项，在正方体 中， ，又 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，即A正确；
B选项，连接 ， ，在正方体 中， ， ， 平面
， 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因此 ；
同理 ，又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；即B正确；
C选项，因为 ，所以 即等于异面直线 与 所成角，
又 ，即 为等边三角形，即异面直线 与 所成角为 ，
故C正确；
D选项，三棱锥 的体积为 .故D错；
9．（多选）已知 ， ， 是三条直线， 是一个平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】BC
【详解】
对A，根据直线平行的传递性，故A正确；
对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；
对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；
对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.
10．（多选） 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
由正方体的平面展开图还原正方体如图，
由图形可知，
，故A错误；
由 ，四边形 为平行四边形，所以 ，故B正确；
因为 , ,所以 平面 ,所以 ，故C正确；
因为 ，而 ,所以 ，故D正确.
11．（多选）如图，正方体 的棱长为1，E，F是线段 上的两个动点，且 ，
则下列结论中正确的是（ ）A． B． 平面ABCD
C． 的面积与 的面积相等 D．三棱锥 的体积为定值
【答案】ABD
【详解】
由于 ，故 平面 ，所以 ，所以A正确；
由于 ，所以 平面 ，故B正确；
由于三角形 和三角形 的底边都是 ，而高前者是 到 的距离，后者是 到 的距离，
这两个距离不相等，故C错误；
由于三棱锥 的底面三角形 的面积为定值 .高是 点到平面 也即 点到
平面 的距离也是定值，故三棱锥 的体积为定值.故D正确.12.(多选）已知边长为2的菱形ABCD中， ，现沿着BD将菱形折起，使得 ，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．二面角 的大小为
C．点A到平面 的距离为
D．直线 与平面 所成角的正切值为
【答案】ABC
【详解】
取BD的中点O，连接OA，OC，
由菱形性质可知 和 都是等边三角形，
， ，又 ，
平面 ，
，故选项A正确；
由 ， 可知 为二面角 的平面角，
由 可知 ，又 ，
，故选项B正确；
点A到平面BCD的距离 ，故选项C正确；
过点A作 平面 ，垂足为 ，则M为OC的中点，所以 ，连接DM，则 为直线AD与平面BCD所成的角，且 ，
故 ，
所以 ，故选项D错误.
二、拓展提升
13．已知直线 过点 ，且 是直线 的一个法向量，求直线 的一般式方程.
【答案】
【详解】
因为 是直线 的一个法向量，
所以设直线 的方程为 .
代入点 ，得 ，
解得 ，所以直线 的一般式方程为 .
14．如图，在底面为菱形的四棱锥 中， ，点 在
上，且
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【详解】
（1）因为底面 是菱形， ，
所以 ，
在 中， ，
由 ，可得 .
同理， ，又 所以 平面 .
（2）作 交 于 ，由 平面 .
则 平面 ，作 于 ，连结 ，
则 ， 即为所求二面角的平面角 .
又 ，所以 ， ，
从而 ,
所以 .
15．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 平面
.
（1）求证： ；（2）若________，求点 到平面 的距离.在① ；②二面角 的大小为60°；③
，这三个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答.
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【详解】
（1）证明：∵底面 为平行四边形，∴ ，
∵在 中， ，
∴ 为直角三角形， ，
又∵ 平面 ，∴ ，∵ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴
（2）由（1）可得 ，∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，
①选条件 ，∴ ，
设点 到平面 的距离为 ，则由 可得，
，解得 ，
即点 到平面 的距离为 .
②选条件二面角 的大小为60°，∵ ，
∴ 为二面角 的平面角，∴ ，
， ，设点 到平面 的距离为 ，则由 可得，
，解得： ，
∴点 到平面 的距离为 .
③选条件 ，则 ，∴ ，
∴ ，
设点 到平面 的距离为 ，∴ ，
解得 ，∴点 到平面 的距离为 .
