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第八章 立体几何初步
8.6.3 平面与平面垂直
一、基础巩固
1．已知m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 .B．若 ， ，则 .
C．若 ， ， ，则 . D．若 ， ， ， ，则 .
【答案】C
【详解】
选项A. 由 ， ， ，不能得出 ，故不能得到 ，所以A错误.
选项B. ， ,则可能是 ，不一定是 ，所以B错误.
选项C. 由 ， ，则 ，又 ，则 ，所以C正确.
选项D. 若 ， ， ， ,若 时，则 可能相交，所以D不正确.
2．若 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】对A，当 ， ，则 或 或 与 相交；对B，当 ， ， ，
则 或 与 相交；对C，若 ， ，则 或 或 与 相交；对D，若 ，
，则 .
3．已知直线 和平面 满足 ，下列命题：
① ∥ ；
② ∥ ；
③ ∥ ；
④ ∥
正确命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【详解】
由图可知，命题①不正确；
， ， ，且 ，
又 ， ，则 ，故命题②正确；
若 由图可知，命题③不正确；
， ，
又 ， ，故命题④正确.4．如图，在三棱锥 中， ， ， 、 、 分别是所在棱的中点.则下列说法
错误的是（ ）
A．面 面 B．面 面 C． D．
【答案】D
【详解】
解： 、 分别是 ， 的中点，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
同理可得 平面 ，
又 ， 平面 平面 ，故 正确；
， ， ，
平面 ，
，故 正确，
又 平面 ，
平面 平面 ，故 正确；
假设 ，又 ，
，与 矛盾，故 与 不平行，故 错误，5．已知两个不重合的平面 ，若直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
根据面面垂直的判定定理，可知若 且 ，可推出 ，即必要性成立；反之，若
，则 与 的位置关系不确定，即充分性不成立；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
6．已知长方体 ，在平面 上任取点 ，作 于点 ，则（ ）
A． 平面
B． 平面
C． 平面
D．以上都有可能
【答案】A
【详解】
∵ 平面 ，平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 .7．如图，在菱形 中， ， ， 是 的中点，将 沿直线 翻折至
的位置，使得面 面 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
如图，
是 的中点， ，
在菱形 中， ， ，得 、 是等边三角形，
，即 ，
正三角形 中， 是 的中点，则 ，可得 ，又面 面 ，且面 面 ，
平面 ，则 ，
在 △ 中，由 ，可得 ，
在等腰三角形 中，取 的中点 ，连接 ，可得 ，
设点 到直线 的距离为 ，
则由等面积法可得， ，
．
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， ， ， ，
，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面 平面AMN，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】取 的中点 ，连接 ，由 ，所以 ，
过点 作 ，交 于点 ，则 ，如图所示，
由 平面 ， 平面 ，所以 ，
且 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
由 ， 为 的中点，且 ，所以 ，
又由 ，所以 ，所以 .
9．（多选）设 为两条不重合的直线， 为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】CD
【详解】
对于A，若 ，则 可能平行、异面或相交，故A不正确；对于B，若 ，则 与 垂直、平行，相交不垂直或 ，
故B不正确；
对于C，若 ，则 ，故C正确；
对于D，若 ，则 ，故D正确.
10．（多选）设 和 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】BCD
【详解】
， ， ，并不能推出 ，这时 和 还可能相交，故A错误；
若 ， ，则 ，又 ，则 ，B正确；
若 ， ，则 或 ，又 ，则 ，C正确；
若 , ，中 ，又 ，则 ，D正确.
11．（多选）正三棱柱ABC-ABC 的各条棱的长度均相等，D为AA 的中点，M，N分别是线段BB 和线
1 1 1 1 1
段CC 上的动点(含端点)，且满足BM=C N，当M，N运动时，下列结论正确的是（ ）
1 1A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段
B．平面DMN⊥平面BCC B
1 1
C．三棱锥A-DMN的体积为定值
D．△DMN可能为直角三角形
【答案】ABC
【详解】
对于A，由直线与平面平行的定义得，在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段，故A正确；
对于B，若满足 ，则线段 必过正方形 的中心 ，而 平面 ，所以，
平面DMN⊥平面BCC B 故B正确
1 1 。
对于C，当 分别在 上运动时， 的面积不变， 到平面 的距离不变，所以，
棱锥 的体积不变，即三棱锥A-DMN的体积为定值，C正确；
对于D，如图，当 分别在 上运动时，D项，若△DMN为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，但 的最大值为 ，而此时 ， 的长大于 ，所以，△DMN不可能
为直角三角形，故D错误；
12．（多选）如图所示，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形，点 为正方形
的中心， 为线段 的中点， 则下列结论正确的是（ ）
A．直线 与 是异面直线
B．线段 与 的长度不相等
C．直线 平面
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】BD
【详解】
解：对于A选项，连接 ，易知 平面 ， 平面 ，所以直线 和 共面，A项
错误；
对于B选项，设 的中点为 ，连接 、 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ 平面 ，平面 ，
∴ 平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，
、 分别为 、 的中点，则 ，
又 ，故 ， ， ，
故B项正确；
对于C选项，由于 平面 ，故 平面 ，故 ，所以 不满足，所
以直线 平面 不成立，故C选项错误；
对于D选项，设 与平面 所成的角为 ，则 ，则 ，故D选项正确.
二、拓展提升
13．如图，正方形 所在平面与以 为直径的半圆 所在平面 互相垂直， 为半圆周上异于 ， 两点的任一点，求证：平面 平面
【答案】证明见解析
【详解】
证明：∵ 是半圆直径，∴ ，
∵四边形 是正方形，∴
∵平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，∵ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
14．在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，E，F分别为 ， 的中点.求
证：
（1） 平面 ；（2）平面 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）连接 交于点O，连接 ，如图所示：
∵ 为矩形，∴O点为 中点，
∵E为 中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
同理可得： 平面 ，
∵ ，
∴平面 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ 平面
（2）∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ 为矩形，∴ ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 平面 .
15．如图，在四棱锥 中， 为正三角，平面 平面 ， ，
， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积；
（3）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请确定点 的位置并证明；若不存在，
请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） 为 中点，证明见解析.
【详解】
（1）∵ ∴
∵面 面 ，面 面 ∴ 面
又 面 ，∴面 面（2）取 中点 ，连接 ，∵ 为正三角形∴
∵面 面 ，面 面 ，∴ 面 ，所以 为三棱锥
的高，因为 ， 为正三角形，所以 .
（3） 为 中点时， 平面 .
取 中点 ， 中点 ，连接 ，则 ， ，又 ， ∴
且 ，所以四边形 为平行四边形
∴ ，因为 面 ， 面
∴ 面
