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空间直线、平面的垂直 习题
1.已知两个平面相互垂直，有下列命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设m，n是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A.若 ， ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ，则
3.在空间四边形ABCD中，若 ， ，则有( )
A.平面 平面ADC B.平面 平面ADB
C.平面 平面DBC D.平面 平面DBC
4.如图所示，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，侧棱 ， ，
则它的五个面中，互相垂直的共有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
5.如图，在正方体 中，二面角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
6.在四边形ABCD中， ， ， ， .如图，将
沿BD折起，使平面 平面BCD，构成三棱锥 .则在三棱锥 中，下列
结论正确的是( )A.平面 平面ABC B.平面 平面BDC
C.平面 平面BDC D.平面 平面ABC
7.如图，在三棱锥 中， ， 平面ABC， ，O为PB
的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形ABCD中， ， ，E为DC的中点，沿AE将 折起，在
折起过程中，正确的有( )
① 平面ACD；② 平面BED；③ 平面ACD；④ 平面BED.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图，在正三棱柱 中，底面边长为2，侧棱长为3，D是侧面 的两条
对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为( )A. B. C. D.1
10.如图，在四棱雉 中， 底面ABCD，底面ABCD为正方形，且
，M为PC上一动点.若 ，则MB的长度为( )
A. B. C. D.
11.长方体 中， 在平面 内， ，垂足为 ，则
与 的位置关系是_________________.
12.如图所示，在直三棱柱 中，底面是 为直角的等腰直角三角形，
，D是 的中点，点F在线段 上，当 _________时， 平
面 .
13.正三棱锥 中， ，则二面角 的大小为 _ _____ _ .
14.已知三棱柱 所有棱长都等于1，侧棱垂直于底面，且点 是侧面
的中心，则 与平面 所成角的大小是_____________.
15.如图，在正三棱柱 中，各棱长均为4，M，N分别是BC， 的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）求直线AB与平面 所成角的余弦值.答案解析
1.答案：A
解析：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平
面内的任意一条直线，故①是假命题.对于②，设两个相互垂直的平面为 ， ，平面
平面 ， ， . 平面 平面 ， 当 时，必有 ，而
， ，而在平面 内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个
平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②是真命题.对于③，当两个平
面垂直时，一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，故③是假命题.对于④，
当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，
则此直线不一定垂直于另一个平面，故④是假命题.故选A.
2.答案：B
解析：A中， 可能平行也可能相交，所以A不正确；易知B正确；C中，若 ，仍
然可以满足 ， ， ，所以C不正确；D中， 可能平行也可能相交，
所以D不正确.故选B.
3.答案：D
解析： ， ， ， 平面DBC.
又 平面ADC， 平面 平面DBC.
4.答案：C
解析：因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， .因为 ，所以 底面ABCD.因为 平面PAB，
平面PAD，所以平面 平面ABCD，平面 平面ABCD.因为四边形ABCD
是正方形，所以 平面PAD，可得平面 平面PAD， 平面PAB，可得平面
平面PBC， 平面PAD，可得平面 平面PCD.故选C.
5.答案：B
解析：由题可知：
在正方体 中， 平面
由 平面 ，所以 ，又
所以二面角 的平面角为 ，
因为 ，则 ，
故选：B
6.答案：D解析：在平面图形中， ，折起后仍然满足 .因为平面 平面BCD，
所以 平面ABD， .又因为 ，所以 平面ADC，所以平面
平面ABC.
7.答案：B
解析：如图，取PC的中点为E，连接EO，则 . 平面ABC， 平面
ABC， .又 ， ， 平面PAC.又 ， 平
面PAC， 为直线CO与平面PAC所成的角.设 ，则 ，
， ， .故选B.
8.答案：A
解析： 在矩形ABCD中， ， ，E为边DC的中点， 在折起过程中，点D
在平面ABCE上的射影点D'在图中线段 上.
与AC所成角不能为直角，
不会垂直于平面ACD，故①错误.
只有点D的射影位于点 位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有 ，此时
CD不垂直于平面AECB，
即CD与平面BED不垂直，故②错误.
与AC所成角不能为直角，
不能垂直于平面ACD，故③错误.
，并且在折起过程中，有 ，
存在一个位置使 ，在折起过程中有 平面BED，故④正确.
故选A.
9.答案：C
解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，由题知D是 的中点，所以 ，
.由题知 平面ABC，所以 平面ABC.
易知AE是斜线AD在底面上的射影，所以 为直线AD与底面ABC所成的角.
在正三角形ABC中， ，所以直线AD与底面ABC所成角的正切值为
.故选C.
10.答案：B
解析：如图所示，连接AC，BD.因为底面ABCD为正方形，所以 .又因为 底
面ABCD， 平面ABCD，所以 .因为 ， 平面PAC，
平面PAC，所以 平面PAC.因为 平面PAC，所以 .因为 ，
， 平面BDM， 平面BDM，所以 平面BDM.又因为
平面BDM，所以 .因为底面ABCD为正方体，所以 .又 底面
ABCD， 平面ABCD，所以 .因为 ， 平面PAB， 平面
PAB，所以 平面PAB.又因为 平面PAB，所以 .在 中， ，
，所以 .在 中， .又
，所以 .11.答案：垂直
解析：如图，
由面面垂直的性质定理知 平面 ，再由线面垂直的定义知 .
12.答案：a或
解析：由已知得 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
故若 平面 ，则必有 .
设 ，则 ，
又 ，
所以 ，
解得 或 .
13.答案：60
解析：如图，° 正三棱锥 中， ，取 中点 ，连结 ，
，
， ，
是二面角 的平面角，
，
，
∴二面角 的大小为60 .
故答案为：60 .
°
14.答案：
°
解析： 如图，取 中点 ，连接 ，
∵三棱柱 所有棱长都等于1，侧棱垂直于底面，
∴依题意知三棱柱为正三棱柱，∴ 平面 ，
∴ 为 与平面 所成的角。
设各棱长为1，则 ， ，
，
∴ .
∴ 与平面 所成角的大小为 .
故答案为： .
15.答案：（1）见解析
（2）解析：（1）因为 ，且M为BC的中点，所以 .在正三棱柱
中，平面 平面ABC， 平面ABC，且平面 平面 ，所以
平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为M，N分别为BC， 的中点，所以 .
又因为 ， ，所以 ，所以
， ，
所以 ，所以 .
又因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
（2）设 ，连接AO.由（1）可知 平面 ，所以 为AB与平面
所成的角.连接AN，由题可知 ，
所以 为等腰三角形，作 于E，则E为AB的中点，所以
，所以 .在 中， ，所
以 ，
所以直线AB与平面 所成角的余弦值为 .
