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第一章 函数的概念与性质 基础卷
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)等于( B )
A．－3x＋2 B．－6x－1
C．2x＋1 D．－6x＋5
【答案】B
【解析】在f(x)＝－3x＋2中，用2x＋1替换x，可得f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－3＋2＝－6x
－1.
2．（2020·浙江高一期中）函数 的定义域是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得： ，且 ，得到 ，且 ，故选：D
3．（2020·浙江高一课时练习）已知 则函数 的图象是（
）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】当 时，依函数表达式知 ，可排除B；当 时，
，可排除C、D．故选A
4．已知函数y＝ ，则使函数值为 的 的值是（ ）
A． 或 B． 或 C． D． 或 或
【答案】C
【解析】当 时，令 ，得 ，解得 ；
当 时，令 ，得 ，解得 ，不合乎题意，舍去.
综上所述， ，故选C.
5．（2020·浙江高一课时练习）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当
各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间
的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据规定每 人推选一名代表，当各班人数除以 的余数大于 时增加一名代表，即余
数分别为 时可以增选一名代表，也就是 要进一位，所以最小应该加 ，因此利用取整函数可表示为 ，也可以用特殊取值法，若 ，排除C，D，若 ，排
除A，故选B．
6．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝ ，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于( C )
A．0 B．1 C． D．5
【答案】C
【解析】令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝－f(1)＋f(2)，
∴ ＝－ ＋f(2)，∴f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝ ＋1＝ .令x＝3，得f(5)＝f(2)＋f(3)＝
7．（2020·甘肃城关兰州一中高三二模（文））已知函数 是定义在 上的偶函数,当 时,
,则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时, 的解为 ；
当 时，根据偶函数图像的对称性知不等式 的解为 ，
所以不等式 的解集为 ，
所以不等式 的解集为 .故选：C
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x，x，x，x，则x＋x＋x＋x 等于( C )
1 2 3 4 1 2 3 4
A．－6 B．6
C．－8 D．8
【答案】C
【解析】f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x)关于x＝－2对称，f(x)＝m的
根关于x＝－2对称，∴x＋x＋x＋x＝4×(－2)＝－8.
1 2 3 4
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符
合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．下列各组函数表示的是同一个函数的是( BD )
A．f(x)＝ 与g(x)＝x·
B．f(x)＝|x|与g(x)＝
C．f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0
D．f(x)＝ 与g(x)＝x0
【答案】BD
【解析】对于A，f(x)＝ 与g(x)＝x· 的对应关系不同，故f(x)与g(x)表示的不是同一
个函数；
对于B，f(x)＝|x|与g(x)＝的定义域和对应关系均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数；
对于C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数；
对于D，f(x)＝ 与g(x)＝x0的对应关系和定义域均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数．
10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是( BD )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－x3
C．f(x)＝x|x| D．f(x)＝－
【答案】BD【解析】A．f(x)＝ 在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不
能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；对于B，f(x)＝－x3在定义域R上是奇函数，且是减
函数，∴满足题意，对于C，f(x)＝x|x|＝ ，在定义域R上是奇函数，且是增函数，∴不
满足题意；对于D，f(x)＝－ 在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．故选BD．
11．已知函数f(x)＝ ，则( ABD )
A．f(x)的定义域为[－3,1] B．f(x)为非奇非偶函数
C．f(x)的最大值为8 D．f(x)的最小值为2
【答案】ABD
【解析】由题设可得函数的定义域为[－3,1]，f 2(x)＝4＋2× ＝4＋2×
，而0≤ ≤2，即4≤f 2(x)≤8，∵f(x)＞0，∴2≤f(x)≤2 ，∴f(x)的最大值为2 ，
最小值为2，故选ABD．
12．下列说法正确的是( )
A．若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0
B．函数f(x)＝ 是偶函数，但不是奇函数
C．若函数f(x)的值域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3,1]
D．曲线y＝|3－x2|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数是m，则m的值不可能是1
【答案】AD
【解析】设方程x2＋(a－3)x＋a＝0的两根分别为x ，x ，则x·x ＝a<0，故A正确；函数f(x)＝
1 2 1 2
的定义域为 ，则x＝±1，∴f(x)＝0，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函
数，故B不正确；函数f(x＋1)的值域与函数f(x)的值域相同，故C不正确；曲线y＝|3－x2|的图像
如图，由图知曲线y＝|3－x2|和直线y＝a的公共点个数可能是2,3或4，故D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．2020·全国高一课时练习）若函数 ，是定义在 上的减函数，则
a的取值范围
【答案】
【解析】因为函数 是定义在 上的减函数，所以 ，解得 .
14．函数f(x)＝ 的定义域为___，单调递减区间为___.
【答案】(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，(－∞，－1)
【解析】函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x ，x∈(－1，＋∞)且x ＜x ，则
1 2 1 2
f(x)－f(x)＝ ＞0，即f(x)＞f(x)，故f(x)在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f(x)
1 2 1 2
在(－∞，－1)上也为减函数．
15．函数y＝f(x)是R上的增函数，且y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1,3)，则不等式|f(2x－
1)|<3的解集为____.
【答案】
【解析】因为y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1,3)，所以f(－2)＝－3，f(1)＝3.又|f(2x－1)|
<3，所以－30，所以
方程有两根，相应地，函数f(x)＝x2＋ax＋1(a∈(4,5))有2个不动点．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知幂函数 的图象关于 轴对称且在 上单调递减，求满足
的 的取值范围.
【解析】因为函数 在 上单调递减，所以 ，
解得 .又因为 ，所以 ， ；
因为函数的图象关于 轴对称，
所以 为偶数，故 .
则原不等式可化为 ，
因为 在 ， 上单调递减，
所以 或 或 ，
解得 或 .故 的取值范围是 或 .
18．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数
（1）试判断函数在（-1，+ ）上的单调性，并给予证明；
（2）试判断函数在 的最大值和最小值
【解析】（1）∵ ，
∴函数 在 上是增函数，
证明：任取 ， ，且 ，
则 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ 在 上是增函数.
（2）∵ 在 上是增函数，
∴ 在 上单调递增，它的最大值是 ，
最小值是 ．
19．(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求函数f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
【解析】(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，① 4a＋2(b－8)－a－ab＝0.② ①－②得b＝a＋8.③
将③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5，∴f(x)＝－
3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3(x＋ )2＋ ＋18.图像的对称轴是直线x＝－ .
∵0≤x≤1，∴f(x) ＝f(1)＝12，f(x) ＝f(0)＝18，∴此时函数f(x)的值域是[12,18]．
min max
20．(12分)已知函数 .
（1）若 ，求 的定义域；
（2）若 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围.
【解析】(1)当 且 时，由 得 ，即函数 的定义域是 .
(2)当 即 时，令
要使 在 上是减函数，则函数 在 上为减函数，即 ，并且且，解得 ；
当 即 时 ，令
要使 在 上是减函数，则函数 在 为增函数，即
并且 ，解得
综上可知，所求实数 的取值范围是 .
21．(12分)已知函数f（x）＝x ，且此函数图象过点（1，2）．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．
【解析】（1）∵函数f（x）＝x ，且此函数图象过点（1，2），
∴2＝1+m，
∴m＝1；
（2）f（x）＝x ，定义域为： ，
又f（﹣x）＝﹣x f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（3）函数f（x）在（0，1）上单调递减，
设0＜x＜x＜1，
1 2则 ，
∵0＜x＜x＜1，
1 2
∴x﹣x＜0，0＜xx＜1，xx﹣1＜0，
1 2 1 2 1 2
∴ ，
即f（x）＞f（x），
1 2
∴f（x）在（0，1）上的单调递减．
22.(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商
订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降 0.02元，
但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？
(2)当销售商一次订购x个零件时，该厂获得的利润为P元，写出P＝f(x)的表达式．
【解析】(1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x 个，则60－0.02(x －100)
0 0
＝51，解得x＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．
0
(2)设一次订量为x个时，零件的实际出厂单价为W，工厂获得利润为P，由题意P＝(W－40)·x，
当0
