专题29计数原理（单元测试卷）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修3_05.专项训练_专题29计数原理（单元测试卷）-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题29 《计数原理》单元测试卷 一、单选题 5  1 1 1 1．（2020·四川省高三三模（理））  展开式中 项的系数为（ ）  x x3 10 5 A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】 1 (1 x )5 展开式的通项公式为 T r1 C 5 r  (1)r  xr，令 r 3 ，可得 r 3 ， 1 故展开式中 x3 项的系数为 C3 10 ， 5 故选：C． (M x)5 M x2 2．（2020·横峰中学高二开学考试（理））二项式 （ 为常数）展开式中含 项的系数等于 10，则常数M （ ） A．2 B． C．-1 D．1 【答案】D 【解析】 T r1 C 5 rM5rxr ，令 r=2 ，则 x2 的系数为 C 5 2M3 10C2M3 M 1 故 5 ，所以 .故选D. 3．（2020·四川省高三三模（理））某中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部选派4人，分别担 任拔河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担 任裁判工作，则不同的工作安排方式共有（ ） A．120种 B．48种 C．96种 D．60种 【答案】C 【解析】 A4 从5人中选4人担任4项不同工作有 5 种方法．若甲担任裁判工作，再从另外4人中选3人担任3项不同A3 工作有 4种方法． A4 A3 96 则符合题意的工作安排方式共有 5 4 ， 故选：C ． 4．（2020·东营市第一中学高二期中）为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙 三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种 A．36 B．48 C．60 D．16 【答案】A 【解析】 43 C2  6 根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有 4 2 种方式， 所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有 C2A3 6321=36 4 3 种方式. 故选：A 5．（2020·吉林省高三其他（理））树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2 名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（ ） A．8种 B．9种 C．12种 D．14种 【答案】D 【解析】 C4 15 任意选有 6 种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种. 故选：D. 1.026 6．（2020·山东省高二期中） 的近似值（精确到0.01）为（ ） A．1.12 B．1.13 C．l.14 D．1.20 【答案】B 【解析】 1.026 (10.02)6 1C 6 10.02C 6 20.022 C 6 30.023  0.026 10.120.0061.13 . 故选：B．7．（2020·南昌市新建一中高二开学考试（理））已知 S C 2 1 7 C 2 2 7 C 2 3 7   C 2 2 7 7 ，则 S 除以9所得的 余数是 A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】 S C1 C2 C3 L C27 227 189 1919 199C0 98C1 L 9C8 2 27 27 27 27 9 9 9 ，所以除以9的 余数为7．选D. 8．（2020·安徽省高三其他（理））北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红､迎春黄､天 霁蓝､长城灰､瑞雪白；间色包括天青､梅红､竹绿､冰蓝､吉柿；辅助色包括墨､金､银.若各赛事纪念品的色彩 设计要求：主色至少一种､至多两种，间色两种､辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､ 冰蓝､银色这三种颜色的概率为（ ） 8 2 1 2 A．225 B．45 C．15 D．15 【答案】B 【解析】 C1C2C1 150 当主色只选一种时，共有 5 5 3 种 C2C2C1 300 当主色选两种时，共有 5 5 3 种 C1 4 其中，若主色只选一种时，某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的共有 4 种； C1C1 16 若主色选两种时，某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的共有 4 4 种； 416 2  则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的概率为150300 45 故选：B 二、多选题 ab11 9．（2020·山东省高二期中）关于 的说法，正确的是（ ）A．展开式中的二项式系数之和为2048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最大 【答案】AC 【解析】 ab11 的展开式中的二项式系数之和为211 2048，所以A正确； n11 12 因为 为奇数，所以展开式中有 项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以 B不正确，C正确； 展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正确. 故选：AC 10．（2020·江苏省扬州中学高二期中）将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组， 每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ） C1C1C1C1 C2A3 A． 3 2 1 3 B． 4 3 C1C2A2 C． 3 4 2 D．18 【答案】BC 【解析】 根据题意， 解法1，先将4人三组，有C 2种分组方法，再将分好的三组全排列，对应三个兴趣小组，有A3种情况， 4 3 则有C 2A3种分配方法，B正确； 4 3 解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，有C 1C 2种情况，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2 3 4 个兴趣小组，有A2种情况，则有C 1C 2A2种分配方法，C正确； 2 3 4 2 故选：BC. (2x1)10 a a xa x2  a x10,xR 11．（2020·江苏省高二期中）若 0 1 2  10 ，则（ ） a 1 a 0 A． 0 B． 0 a a a  a 310 a a a  a 3 C． 0 1 2  10 D． 0 1 2  10【答案】AC 【解析】 (2x1)10 a a xa x2  a x10,xR 因为 0 1 2  10 ， x0 a 1 令 得 0 ，故A正确. 令 x1 得 a 0 a 1 a 2   a 10 310 ，故C正确. 故选:AC 6  1  2x 12．（2020·海南省高三其他）对于  x2   的展开式，下列说法正确的是（ ） A．展开式共有6项 B．展开式中的常数项是-240 C．展开式中各项系数之和为1 D．展开式中的二项式系数之和为64 【答案】CD 【解析】 6  1  2x   x2   的展开式共有7项，故A错误； 6 r  1   1  2x T Cr(2x)6r  (1)r26rCrx63r   x2   的通项为 r1 6   x2   6 ， 6- 3r=0,\ r=2 (1)224C2 240 令 ，展开式中的常数项为 6 ，故B错误； 2116 1 令x1，则展开式中各项系数之和为 ，故C正确； 6  1  2x   x2   的展开式中的二项式系数之和为 26 64 ，故D正确. CD 故选： . 三、填空题 13．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项， 每项工作由1人完成，则不同的安排方式有_______. 【答案】36【解析】 C2 6 根据题意，先将4项工作分成3组，有 4 种分组方法， A3 6 将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有 3 种情况， 则有6×6＝36种不同的安排方式. 故答案为：36. 1 (2x2  )6 14．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式 x 的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 有题意可得，二项式展开式的通项为： r T Cr 2x26r  1 (1)r26rCrx123r r1 6   x   6 123r 0 r 4 T 22C4 60 令 可得 ，此时 5 6 . 15．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分 1 5 种植 种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有 种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______ 种（用数字作答） 【答案】260 【解析】  5 4 1 1 3  80 根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有： 种，   5 4 3 1 2  180 当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有： 种， 所以不同的种植方案共有80180260种， 故答案为：260 (13x)n x2 n 16．（2019·宁波市北仑中学高三二模）已知 的展开式中含有 项的系数是54，则 _______， 系数最大的项为第_______项. 【答案】4 4 【解析】 (13x)n Cr(3x)r 3rCrxr 二项式 的展开式的通项为 n n ， 9n(n1) 32C2  54 则含x2的项的系数为 n 2 ， 解得n4， (13x)4 (13x)4 112x54x2 108x3 81x4 则二项式 的展开式为 ， 所以系数最大的项是第4项. 故答案为：4，4 四、解答题 17．（2019·陕西省西安电子科技大学附中高二期末（理））（1）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个 盒子至多放1个球，共有多少种放法？ （2）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球量不限，共有多少种放法？ 60 125 【答案】（1） .（2） 【解析】 （1）把3个不同的小球分别放入5不同的盒子里(每个盒子至多放一个球)， A3 60 实际上是从5个位置选3个位置用3个元素进行排列，共有 5 种结果， 共有：60方法． （2）3个不同的球放入5个不同的盒子，每个盒子放球量不限  一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有5种独立的放法，53 125 由分步乘法计数原理，放法共有 种 共有：125放法． 1,3,5,7 a,b 18．（2020·陕西省咸阳市实验中学高二月考（理））从四个不同的数 中，选取两个不同的数 ， 分别求解下列问题的总方法数： x2 y2  1 （1）焦点在x轴上的椭圆a2 b2 有多少个？ x2 y2  1 （2）焦点在x轴上的双曲线a2 b2 有多少个？ 【答案】（1）6个；（2）12个. 【解析】 x2 y2  1 （1））焦点在x轴上的椭圆a2 b2 ，则ab0， a b C2 6 从4个数中选择两个， 取大的一个， 取小的一个，共有 4 个. x2 y2  1 （2）焦点在x轴上的双曲线a2 b2 ，则a� b， A2 12 从4个数中有顺序的选择两个，共有 4 个. 19．（2020·江西省南昌二中高二月考（理））为了支援湖北省应对新冠肺炎，某运输公司现有5名男司机， 4名女司机，需选派5人运输一批紧急医用物资到武汉. （1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？ （2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？ 60 121 【答案】（1） 种（2） 种 【解析】 C3 （1）可分步完成这件事情：第一步，选3名男司机，有 5 种不同的选法； C2 第二步，选2名女司机，有 4 种不同的选法；C3C2 60 由分步乘法原理，共有 5 4 种不同的选法. C2C3 （2）可分类完成这件事情：第一类，选2名男司机3名女司机，有 5 4种不同的选法； C3C2 第二类，选3名男司机2名女司机，有 5 4种不同的选法； C4C1 第三类，选4名男司机1名女司机，有 5 4种不同的选法； C5C0 第四类，选5名男司机0名女司机，有 5 4种不同的选法； C2C3 C3C2 C4C1 C5C0 121 由分类加法与分步乘法原理，共有 5 4 3 4 3 4 3 4 种不同的选法. 20. （2020·江苏省邗江中学高二期中）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选5人排成一排； （2）排成前后两排，前排4人，后排3人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须站在一起； （5）全体排成一排，男生互不相邻. 【答案】（1）2520种（2）5040种（3）3600种（4）576种（5）1440种 【解析】 A5 765432520 （1）从7人中选5人排列，有 7 （种）. A4 A3 A4 A3 5040 （2）分两步完成，先选4人站前排，有 7 种方法，余下3人站后排，有 3种方法，共有 7 3 （种）. A6 5A6 3600 （3）（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有 6 种排列方法，共有 6 （种）. A4 A4 （4）（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有 4 种方法，再将女生全排列，有 4 种 A4 A4 576 方法，共有 4 4 （种）. A4 A3 （5）（插空法）先排女生，有 4 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有 5A4 A3 1440 种方法，共有 4 5 （种）. n  1  2x 21．（2020·福建省南平市高级中学高二期中）已知  展开式前三项的二项式系数和为22.  x  （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 3 【答案】（1）60（2）160x2 【解析】 n  1  2x （1）因为  展开式前三项的二项式系数和为22，  x  C0 C1 C2 22 所以 n n n ， n(n1) 1n 22 即 2 ， n2 n420 所以 ， n6 n7 解得 或 （舍去）.  1  n   1  r 所以  2x x   展开式的通项为： T r1 C 6 r(2x)6r   x 2   Cr26rx 6 3 2 r， 6 3 6 r 0 令 2 ，得r 4， T  C422x0 60 所以展开式中的常数项为 41 6 . n6 （2）因为 ， 所以展开式中二项式系数最大的项为第四项， 3  1  3  即 T 31 C 6 3(2x)3 x 2  160x2 .   22．（2020·扬州大学附属中学高二月考）已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品． (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测 试方法？ (2)若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？ 【答案】（1）840；（2）936. 【解析】 （1）若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第6次才找到最后一件次品，则第2次，第6次，与第3 至第5次选出1次，在这三个位置进行次品全排列，剩下的三个位置再对正品进行全排列，所以共有： N C1A3A3 1080 3 3 5 ． A3 6 （2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有 3 种， C2A3A1 90 检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有 3 3 5 种； 检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测 C2A3A2  A5 840 试方法共有 4 3 5 5 种． ∴满足条件的不同测试方法的种数为690840936．