文档内容
专题3.6 解答（30道）冲刺篇（期中篇）（1-3 章）
1．已知集合
（1）判断8，9，10是否属于集合 ；
（2）已知集合 ，证明：“ ”的充分非必要条件是“
”；
（3）写出所有满足集合 的偶数.
【答案】（1） ， ， ；（2）详见解析；（3）所有满足集合 的偶数为
， ．
【解析】
（1） ， ， ， ，
假设 ， ，则 ，且 ，
，
，或 ，显然均无整数解，
，
， ， ；（2） 集合 ，则恒有 ，
， 即一切奇数都属于 ，
又 ， “ ”的充分非必要条件是“ ”；
（3）集合 ， 成立，
①当 ， 同奇或同偶时， ， 均为偶数， 为4的倍数；
②当 ， 一奇，一偶时， ， 均为奇数， 为奇数，
综上所有满足集合 的偶数为 ， ．
2．已知 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）当 时， ，
或 ，
因此， ；
（2）由（1）可得 ，若 是 的充分不必要条件，则 ，
所以， ，解得 .
①当 时， ，则 成立；
②当 时， ，则 成立.
综上所述，实数 的取值范围是 .
3．设集合 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ； （2） 或 .
【解析】
（1）集合 ，
若 ，则 是方程 的实数根，
可得： ，解得 或 ；
（2）∵ ，∴ ，当 时，方程 无实数根，
即
解得： 或 ；
当 时，方程 有实数根，
若只有一个实数根， ，
解得： ．
若只有两个实数根，x=1、x=2， ,无解.
综上可得实数 的取值范围是{a|a≤-3或a＞ }
4．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1） 与 ；
（2）当 ， 且 时， 与 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1） ，因此， ；
（2） .
①当 时，即 ， 时， ， ；
②当 时，即 ， 时， ， .
综上所述，当 ， 且 时， .
5．已知 ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求ab的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
证明：（1）∵ ，
∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ .
当且仅当 时取等号，此时ab取最小值1.
6．已知 ， ， 为正实数，且 ，证明：
（1） ；
（2） .
【解析】
（1）因为 ， ， 为正实数，所以 ， ， ，
（当且仅当 时，等号同时成立），
所以 .
（2）因为 ，所以
又 ，
即 .（当且仅当 时，等号同时成立）.
所以 ，即 .
7．已知函数 .（1）求不等式 的解集；
（2）正数 满足 ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
（1）当 时， ，
解得 ，所以 ；
当 时， ， ；
当 时， ，
解得 ，所以 .
综上，不等式 的解集为 .
（2）证明：因为 为正数，则
等价于 对任意的 恒成立.
又因为 ，且 ，所以只需证 ，因为 ，当且仅当 时等号成立.
所以 成立.
8．已知函数 .
（1）求不等式 的解集 ；
（2）若 为集合 中的最大元素，且 ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）当 ，即 时， ，解得 ；
当 ，即 时， ，解得 ，
所以不等式 的解集
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以.
当且仅当 ， 时,等号成立.
所以 的最小值的最小值为 .
9．已知 ，函数 .
（1）若 ，且函数 的定义域和值域均为 ，求实数 的值；
（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）∵ 的图象开口向上，对称轴为 ，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，即 ，解得 .
（2）不等式 对 恒成立，
即 对 恒成立，故 且 在 恒成立，
令 ， ，
所以 ，
所以 .
令 ，
所以 ，
所以 .
综上： .
10．（1）已知 ， ，且 ，比较 与 的大小；
（2）若关于 的不等式 的解集中整数恰好有 个，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） ， 且 ， ，
则
，
因此， ；
（2）由 可得 ，
由于不等式 的解集中恰好有三个整数，则 ，可得 .
原不等式的解为 ，即 ，
，则 ， ，
所以，不等式 的解集中一定含有整数 、 、 ，则 ，
可得 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .11．已知函数 的图象关于直线 对称且 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值．
【答案】（1） ；（2）最大值 ，最小值 .
【解析】
（1）由于函数 的图象关于直线 对称且 ，
则 ，解得 ；
（2） ， ，
所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以，函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为
．
12．已知 ，若关于x的不等式 的解集是 ．
(1)求a的值；
(2)若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数b的取值范围.【答案】(1) ；(2)
【解析】
(1) 和 是 的两根，将 代入方程解得 ；
(2)由(1)可知不等式 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
当 时， 恒成立，此时 ；
当 时，不等式可转化为 在 上恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，所以 ,
综上，实数b的取值范围为 .
13．已知函数
（1）若 ，求 的值；
（2）解不等式 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）当 时，由 ，得 ，不符合题意；
当 时，由 ，得 或 (舍去)，故
（2） 等价于 ——①或 ——②
解①得 ，解②得 ，
综合①②知 的解集为 .
14．已知 ，求 。
【答案】 ，
【解析】
令 ，则 ，
将 代入 中，
可得 ，
所以 ， 。
15．（1）已知函数 是一次函数，若 ，求 的解析式；（2）已知 是二次函数，且满足 ， ，求 的解析
式．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【解析】
（1）设 ，则
，
又 ，所以， ，解得 或 ，
因此， 或 ；
（2） ，则 ，
，即 ，
即 ，所以 ，解得 .
因此， .
16．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；（2）对任意 ，当函数 的图像恒在函数 图像的下方时，求实数
的取值范围.
【答案】（1） 和 ；（2） .
【解析】
（1）当 时， ，
可知函数 的单调递增区间为 ；
（2）由题知 在 恒成立，即 ，
即 ，
即只要 且 在 上恒成立即可，
在 时，只有 的最大值小于 且 的最小值大于 即可，
当 时， 单调递增，则 ，
当 时， 单调递增，则 ，.
17．已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2+4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[t,t+2],t∈R时,求函数f(x)的最小值(用t表示).
【答案】（1） ；（2）
【解析】
(1)设f(x)=ax2+bx+c,
b(x-1)+c+a +bx+c=2a +(2b-2a)x+a-b+2c=2 +4,
,
解得 ,∴f(x)=x2+x+2.
(2)∵f(x)=x2+x+2的对称轴为x=- ;
当t t+2，即 时, =f(- )=当t 时,f(x)=x2+x+2在x∈[t,t+2]上单调递增， =f(t)=t2+t+2,
当t< 时,f(x)=x2+x+2在x∈[t,t+2]上单调递减， =f(t+2)= +5t+8,
综上:f(x) =
min
18．已知函数 ， .
（1）判断该函数在区间 上的单调性，并给予证明；
（2）求该函数在区间 上的最大值与最小值.
【答案】（1） 在区间 上是减函数；证明见解析；（2） ，
.
【解析】
解：（1） 在区间 上是减函数.（导数法也可以）
证明任意取 ， 且 ，则 ， .
.
∵ ，
∴ ， ， .
∴ ，∴ .
∴ 在区间 上是减函数.
（2）由（1）可知 在区间 上是递减的，故对任意的 均有
，
∴ ，
.
19．已知奇函数 的定义域为 ，当 时， .
（1）求 的值；（2）当 时，求 的解析式；
（3）若有 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 时， ；（3） 或 .
【解析】
（1）∵函数 为奇函数，∴ ；
（2）设 ，则－
∴ ，
∵函数 为奇函数
∴当 时, ；
（3）因为由 得 或 ，
所以 或 ，
解得 或 ．
20．已知定义在 上的奇函数 是增函数，且 ．（1）求函数 的解析式；
（2）解不等式 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
解：（1）∵ 是区间 上的奇函数，
∴ ,又 ，
∴ ∴ ，此时 ，
为奇函数；
（2）∵ ，且 为奇函数，
∴
又函数 在区间 上是增函数
∴ ，解得
故关于 的不等式的解集为 ．21．已知幂函数 ，且在 上为增函数.
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 ，求 在区间 上的最小值.
【答案】（1） ；（2） 时， ； 时， .
【解析】
（1） ,即 ,则 ,解得 或 ,
当 时, ,
当 时, ,
∵ 在 上为增函数,∴
（2）由（1）, , ,
① 时, , ,
② 时,对称轴
（i） ,即 时,（ii） ,即 时,
③ 时,∵ ,∴
综上： 时, ； 时,
22．已知 是幂函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增．
（1）求 的值；
（2）解不等式
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
函数 是幂函数，
则 ，即 ，解得 或 ，
当 时，函数 ，此时函数在 上单调递减，不符合题意；
当 时，函数 ，此时函数在 上单调递增，符合题意，
综上可得，实数 的值为 .
（2）由（1）知，函数 ，又由不等式 ，即 ，即 或 ，
解得 或 ，即不等式的解集为 .
23．已知幕函数 为偶函数，且在 上单调递增.
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 在区间 上的值恒为正数，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）∵函数 为偶函数且在 上单调递增，
∴ 为正偶数．
而 ，
∴ （ 时取等号），
∴ ；
（2）函数 ，
令 ，
∴ ．根据一次函数的保号性可知： ，
所以实数 的取值范围时 ．
24．已知幂函数 为偶函数.
（1）求 的解析式；
（2）若函数 在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
（1）由f(x)为幂函数知，2m2-6m+5=1，即m2-3m+2=0，得m=1或m=2，
当m=1时，f(x)=x2，是偶函数，符合题意；
当m=2时，f(x)= ，为奇函数，不合题意，舍去.
故f(x)= ；
（2）由（1）得 ，
函数 的对称轴为x=a-1，
由题意知函数 在(2,3)上为单调函数，
∴a-1≤2或a-1≥3，分别解得a≤3或a≥4.
即实数a的取值范围为：a≤3或a≥4.25．已知幂函数 满足：
（1）在区间 上为增函数；
（2）对任意的 都有 .
求同时满足（1）（2）的幂函数 的解析式，并求当 时， 的值域.
【答案】 ，值域是
【解析】
由题意，幂函数 递增，所以
解得 ，因为 ，所以 或 ．
又因为 ，所以函数 是偶函数，
当 时， ，即函数 ，满足题意
当 时， ，即函数 ，不满足题意
所以函数 的解析式为 ，
由幂函数的性质，可得幂函数 在区间 上递增，
所以最小值为 ，最大值为 ．
所以函数 的值域是 ．26．已知幂函数
(1)求 的解析式；
(2)(i)若 图像不经过坐标原点，直接写出函数 的单调区间.
(ii)若 图像经过坐标原点，解不等式 .
【答案】（1） 或 （2）(i) 单调递减区间为 ，无
单调递增区间 (ii) .
【解析】
（1） 因为幂函数 ，
所以 ，解得 或 ，
所以函数为 或 .
（2）(i)因为 图像不经过坐标原点，
所以 ，
函数的单调递减区间为 ，无单调递增区间.
(ii)因为 图像经过坐标原点，所以 ，
因为 为偶函数，且在 上为增函数，
所以 ，
又 在 上为增函数，
所以 ，
解得 ，
所以不等式的解为 .
27．已知幂函数 为偶函数．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1） （2） 或
【解析】
(1) 幂函数 为偶函数,
∴ ,解得 或 ；
当 时, 不符合题意,舍去；当 时, 满足题意；
∴ ；
(2)由(1)知,不等式 化为 ,
解得 或 ,
即 或 ,
∴实数a的取值范围是 或 ．
28．已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
解：（1）因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .（2）由于 在区间 都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当 ，即 时，原不等式成立；
②当 且 时，有 ，即 ，解集为空集；
③当 且 时，有 ，即 ，
∴
综上所述： 的取值范围是 .
29．定义在 上的函数 ，满足 ，且当
时， .
（1）求 的值.
（2）求证： .（3）求证： 在 上是增函数.
（4）若 ，解不等式 .
（5）比较 与 的大小.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4） ；
（5） .
【解析】
（1）令 ，由条件得 .
（2） ，
即 .
（3）任取 ， ，且 ，则 .
由（2）得. ，即 .
∴ 在 上是增函数.（4）∵ ，∴ ，
.
又 在 上为增函数，∴
解得 .
故不等式 的解集为 .
（5）∵ ，
，
∵ ，
∴ （当且仅当 时取等号）.
又 在 上是增函数，
∴ .
∴ .30．函数 的定义域为 ，且对一切 ，都有 ，
当 时，总有 .
（1）求 的值；
（2）判断 单调性并证明；
（3）若 ，解不等式 .
【答案】（1） （2） 是 上的增函数，证明见解析（3）
【解析】
(1)令 ,得 ,∴ .
(2) 是 上的增函数,证明：任取 ,且 ,则
,∴ ,∴ ,
即 ,
∴ 是 上的增函数.
(3)由 及 ,可得 ,结合（2）知不等式等价于 ,可得 ,解得 .所以原不等式的解集为 .
