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专题4.4 数学归纳法*
知识储备
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数
学归纳法．
【名师点津】
1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据．
2．运用数学归纳法时易犯的错误：
(1)对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；
(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；
(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．用数学归纳法证明：首项是a ，公差是d的等差数列的前n项和公式是S ＝na ＋ d时，
1 n 1
假设当n＝k时，公式成立，则S＝( )
k
A．a＋(k－1)d B．
1
C．ka＋ d D．(k＋1)a＋ d
1 1
【答案】C
【解析】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即S＝ka＋ d.
k 1
2．已知f(n)＝ ，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝ ＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ ＋ ＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝ ＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ ＋ ＋
【解析】选D 由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝ ＋ ＋
3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)
＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A．3k－1 B．3k＋1
C．8k D．9k
【答案】C
【解析】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，
f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋
1－k＝8k.
4．证明等式12＋22＋32＋…＋n2＝ (n∈N*)时，某学生的证明过程如下：
①当n＝1时，12＝ ，等式成立；
②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＝ ，则当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝ ＋(k＋1)2
＝
＝
＝ ，
所以当n＝k＋1时，等式也成立，故原式成立．
那么上述证明( )
A．过程全都正确
B．当n＝1时验证不正确
C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【答案】A
【解析】通过对上述证明的分析验证知全都正确，故选A.
5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c
的值为( )
A．a＝ ，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a，b，c
【答案】A
【解析】令n＝1,2,3，
得
即
解得a＝ ，b＝ ，c＝ .
6.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证 ( )
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
【答案】C
【解析】由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.
1 1 1
7.利用数学归纳法证明不等式1+ + +…+
