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专题4.4 数学归纳法*
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知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数
学归纳法．
【名师点津】
1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据．
2．运用数学归纳法时易犯的错误：
(1)对项数估算错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化易弄错；
(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；
(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．
能力检测
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字
笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．用数学归纳法证明：首项是a ，公差是d的等差数列的前n项和公式是S ＝na ＋ d时，
1 n 1
假设当n＝k时，公式成立，则S＝( )
k
A．a＋(k－1)d B．
1
C．ka＋ d D．(k＋1)a＋ d
1 1
【答案】C
【解析】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即S＝ka＋ d.
k 1
2．已知f(n)＝ ，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝ ＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ ＋ ＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝ ＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝ ＋ ＋
【解析】选D 由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝ ＋ ＋
3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)
＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )
A．3k－1 B．3k＋1
C．8k D．9k
【答案】C
【解析】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，
f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋
1－k＝8k.
4．证明等式12＋22＋32＋…＋n2＝ (n∈N*)时，某学生的证明过程如下：
①当n＝1时，12＝ ，等式成立；
②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＝ ，则当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝ ＋(k＋1)2
＝
＝
＝ ，
所以当n＝k＋1时，等式也成立，故原式成立．
那么上述证明( )
A．过程全都正确
B．当n＝1时验证不正确
C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【答案】A
【解析】通过对上述证明的分析验证知全都正确，故选A.
5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c
的值为( )
A．a＝ ，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a，b，c
【答案】A
【解析】令n＝1,2,3，
得
即
解得a＝ ，b＝ ，c＝ .
6.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证 ( )
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
【答案】C
【解析】由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.
1 1 1
7.利用数学归纳法证明不等式1+ + +…+ <n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左
2 3 2n-1
边增加了( )
A.1项
B.k项
C.2k-1项
D.2k项
【答案】D1 1 1
【解析】当n=k时,不等式左边的最后一项为 ,而当n=k+1时,最后一项为 = ,
2k-1 2k+1-1 2k-1+2k
并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.
8．观察下列式子: ， ， ，…，则可归纳出
小于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知式子可知所猜测分式的分母为 ，分子第 个正奇数，即 ，
.故选：C.
二、多选题
9.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成
立,则下列说法正确的是( )
A.该命题对于n=6时命题成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与k取值无关
D.以上答案都不对
【答案】AB
【解析】由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都
成立.故选AB.
10．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古
代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女
善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长
织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织 尺，
一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知 匹 丈， 丈
尺，若这一个月有 天，记该女子这一个月中的第 天所织布的尺数为 ， ，对于数列 、 ，下列选项中正确的为（ ）
A． B． 是等比数列
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可知，数列 为等差数列，设数列 的公差为 ， ，
由题意可得 ，解得 ，
，
， （非零常数），
则数列 是等比数列， 选项正确；
， ， ， 选项错误；
， ， 选项错误；
， ，
所以， ， 选项正确.故选：BD
11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契
数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 满足： ， ，
.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前 项所占的格子的面积之和为 ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足 ，
所以 ，
，
，
类似的有， ，
累加得 ，
由题知 ，
故选项A正确，
对于B选项，因为 ， ， ，
类似的有 ，
累加得 ，
故选项B正确，对于C选项，因为 ， ， ，
类似的有 ，
累加得 ，
故选项C错误，
对于D选项，可知扇形面积 ，
故 ，
故选项D正确，故选：ABD.
12．用数学归纳法证明 对任意 的自然数都成立，则以下满足条件的
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】取 ，则 ， 不成立；
取 ，则 ， 不成立；
取 ，则 ， 成立；
取 ，则 ， 成立；
下证：当 时， 成立 .当 ，则 ， 成立；
设当 时，有 成立，
则当 时，有 ，
令 ，则 ，
因为 ，故 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时，不等式也成立，
由数学归纳法可知， 对任意的 都成立.故选：CD.
三、填空题
13．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被 x＋y整除”，当第二步假设 n＝2k－
1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
【答案】2k＋1
【解析】∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需证n＝2k＋1时，命题成立．
14．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1
时，原式为__________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________．
【答案】1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
【解析】当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，
所以原式为1＋2＋22＋23＋24，
从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.
16．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的 n条直线把平面分为 f(n)部分，则 f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.
【答案】k＋1
【解析】f(k)＝1＋ ，
f(k＋1)＝1＋ ，
∴f(k＋1)－f(k)
＝
＝k＋1，
∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．
1 1 1 1 1 1 1 1
16.用数学归纳法证明1- + - +…+ - = + +…+ 时,第一步应验证的等式是
2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n
;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是 .
1 1 1 1
【答案】1- = -
2 2 2k+1 2(k+1)
1 1
【解析】当n=1时,应当验证的第一个式子是 1- = ,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是
2 2
1 1
-
.
2k+1 2(k+1)
四、解答题
17．设f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N*)．
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
【解析】当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2× ＝1，左边＝右边，等式成立．
假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1) －k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)
＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时等式仍然成立．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
18．已知数列{a }中，a＝1，a ＝ (n∈N*)．
n 1 n＋1
(1)计算a，a，a；
2 3 4
(2)猜想a 的表达式，并用数学归纳法证明．
n
【解析】 (1)a＝1，a＝ ＝ ，
1 2
a＝ ＝ ，a＝ ＝ .
3 4
(2)由(1)的计算猜想a ＝ .
n
下面用数学归纳法进行证明．
①当n＝1时，a＝1，猜想成立．
1
②假设当n＝k时，猜想成立，即a＝ ，
k
那么a ＝ ，
k＋1
即当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据①②可知，对任意n∈N*都有a ＝ .
n
19．已知数列{a }的各项均为正数，且满足a ＝1，a ＝ a (4－a )，n∈N*.证明a ＜a ＜
n 1 n＋1 n n n n＋1
2(n∈N*)．
【解析】①当n＝1时，a＝1，a＝ a(4－a)＝ ，
1 2 1 1
∴a＜a＜2，命题正确．
1 2
②假设n＝k时，有a＜a ＜2，则n＝k＋1时，
k k＋1
a －a ＝ a(4－a)－ a (4－a )
k＋1 k＋2 k k k＋1 k＋1＝2(a－a )－ (a－a )·(a＋a )
k k＋1 k k＋1 k k＋1
＝ (a－a )(4－a－a )．
k k＋1 k k＋1
而a－a ＜0,4－a－a ＞0，
k k＋1 k k＋1
∴a －a ＜0.
k＋1 k＋2
又a ＝ a (4－a )＝ [4－(a －2)2]＜2，
k＋2 k＋1 k＋1 k＋1
∴n＝k＋1时命题正确．
由①②知，对一切n∈N*都有a＜a ＜2.
k k＋1
20．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这
n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
【解析】n＝2时，f(2)＝2＝1×2，
n＝3时，f(3)＝2＋4＝6＝2×3，
n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，
n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，
猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝2时，f(2)＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，
所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
即n＝k＋1时猜想也成立．
由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
20．已知f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ， － ，n∈N*.
（1）当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
【解析】（1）当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；
当n＝2时，f(2)＝ ，g(2)＝ ，所以f(2)＜g(2)；当n＝3时，f(3)＝ ，g(3)＝ ，所以f(3)＜g(3)．
（2）由（1）猜想： f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明．
①当n＝1，不等式显然成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ － ，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋ － ＋ ，
因为 － ＝ － ＝ ＜0，
所以f(k＋1)＜ － ＝g(k＋1)．
由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立.
21．已知数列 中， 是 的前 项和且 是 与 的等差中项，其中 是不为 的
常数.
（1）求 .
（2）猜想 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
【解析】（1）由题意知：
即 ，
当 时， ，解得 .
当 时， ，解得 .当 时， ，解得 .
（2）猜想：
证明：①当 时，由（1）知等式成立.
②假设当 时等式成立，即 ，
则当 时，又
则 ， ，
∴ ，
即
所以 ，
即当 时，等式成立.
结合①②得 对任意 均成立.
22．观察下列等式：
．．．．．．
按照以上式子的规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第 个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 个等式成立．
【解析】（1）第5个等式为 ．第 个等式为
， ．
（2）证明：①当 时，等式左边 ，等式右边 ，所以等式成立．
②假设 时，命题成立，即 ，
则当 时，
，
即 时等式成立．根据①和②，可知对任意 等式都成立．
