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专题 4.5 函数应用
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
2。函数零点的判定定理
条件 结论
函数y＝f(x)在[a，b]上
(1)图象是连续不断的曲线 y＝f(x)在(a，b)内有零点
(2)f(a)f(b)< 0
3．四种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝log x y＝xn y＝kx＋b
a
性质 (a＞1) (a＞1) (n＞0) (k＞0)
在(0，＋∞)
增函数 增函数 增函数 增函数
上的增减性
增长的速度 越来越快 越来越慢 相对较快 不变
图象的变化 越来越陡 越来越平 随n值而不同 直线上升
4．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间
(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax
的增长快xn的增长，因此总存在一个x，当x＞x 时，就会有ax>xn.
0 0
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝log x(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，
a
log x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围
a
内，log x可能会大于xn，但由于log x的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x，当x
a a 0
＞x 时，就会有log x＜xn.
0 a
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝log x(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，
a
但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的
增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝log x(a＞1)的增
a
长速度则会越来越慢，因此总存在一个x，当x＞x 时，就会有log x＜xn＜ax.
0 0 a1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值
范围是( )
A． B．
C． D．
3．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．基本再生数 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感
染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初
始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间t（单位：天）的
变化规律，指数增长率r与 ，T近似满足 .有学者基于已有数据估计出
， .据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的4倍需要的时间约为（参考数值： ）（ ）
A．0.9天 B．1.8天 C．1.2天 D．3.6天
5．已知 ， 分别是方程 ， 的根，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
6．若函数 唯一的一个零点同时在区间 ， ， 内，那么下列命题中
正确的是（ ）
A．函数 在区间 内有零点
B．函数 在区间 或 内有零点
C．函数 在区间 上无零点
D．函数 在区间 内无零点
7．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y
（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测
得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中
每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
8．已知函数 ，则方程 的实数根的个数为（ ）
A． B． C． D．9．若关于 的方程 在 上有实数根，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 在区间 上的图像是连续不断的，则“ ”是
“函数 在区间 内有零点”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．若关于x的方程 有三个不同的实数解，则实数a的可能取值（ ）
A．－5 B．－2 C．2 D．3
12．已知 ，若方程 有四个不同的实数根 ，
， ， ，则 的取值范围是（ ）
A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4）
二、多选题
13．下列说法正确的是（ ）
A．已知方程 的解在 内，则
B．函数 的零点是 ，
C．方程 的一个实根在区间 内，另一个实根大于 ，则实数
的取值范围是 .
D．若函数 在区间 上有零点，则一定有
14．已知函数 的图象在区间 上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确
的是（ ）A．若 ，则 在 内至少有一个零点
B．若 ，则 在 内没有零点
C．若 在 内没有零点，则必有
D．若 在 内有唯一零点， ，则 在 上是单调函数
15．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，
把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①
；② ．（参考数据： ）根据如图标准对数视力表中
的数据，下列结论中正确的是（ ）
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
16．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域
都有十分广泛的应用，函数 的边际函数 定义为 ．
某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产 台 的收入函数
（单位：元），其成本的数 （单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为 ，则以下说法正确的是（ ）
A． 取得最大值时每月产量为 台
B．边际利润函数的表达式为
C．利润函数 与边际利润函数 不具有相同的最大值
D．边际利润函数 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
17．设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当
时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当 时， 的取值范围为
C． 为奇函数 D．方程 仅有5个不同实数解
三、填空题
18．若方程 有正数解，则实数 的取值范围是_______.
19．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载
火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预
定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质
量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的
最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃
料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为 时，该火
箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体
质量的_______________倍.（参考数据： ）
20．已知关于 的方程 的两个实根一个小于 ，另一个大于 ，则实数
的取值范围是_____．21．已知 为 上的偶函数，当 时， ，对于结论
（1）当 时， ；
（2）方程 根的个数可以为 ；
（3）若函数 在区间 上恒为正，则实数 的范围是 ；
（4）若 ，关于 的方程 有 个不同的实根.
说法正确的序号是___．
四、解答题
22．已知函数 是偶函数.
(1)当 ，函数 存在零点，求实数 的取值范围；
(2)设函数 ，若函数 与 的图象只有一个公共点，求实数
的取值范围.
23．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产
产品 (百台)，其总成本为 万元，其中固定成本为 万元，并且每生产 台的生
产成本为 万元(总成本 固定成本 生产成本)，销售收入 满足
，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品数量 应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？
24．已知函数 与 .(1)判断 的奇偶性；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
25．已知函数 ．
(1)判断函数f (x)的单调性，并用定义给出证明；
(2)解不等式： ；
(3)若关于x的方程 只有一个实根，求实数m的取值范围．
26．设 是定义在 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数 都
有 ；②当 时， ；③ .
(1)求 的值；
(2)判断函数 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(3)如果存在正数 ，使不等式 有解，求正数 的取值范围.
