文档内容
第三章 函数概念及性质
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则当
时， 的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，故 ，
又 是定义在 上的奇函数，
∴ .故选：D.
2．定义在 上的奇函数 满足 恒成立，若 ，则
的值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】C
【解析】∵定义在 上的奇函数 满足 恒成立，
∴ ，
∴ ，又
∴ ， ，
，
∴ .故选：C.
3．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， .若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 的对称轴为 ，故 在 上单调递增.函数在x=0处
连续又 是定义域为 的奇函数，故 在 上单调递增.因为 ，由 ，可得 ，
又因为 在 上单调递增，所以有 ，解得 .故选：D
4．若函数 的图像关于直线 对称，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． 或 D．不存在
【答案】B
【解析】 由函数 的图像关于直线 对称，知 是偶函数，
，即 ，
整理得 总成立，得 ，
，
令 ，则 ，
当 时， 有最大值 ，即 的最大值是 ．故选：B．
5．若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
6．设函数 ，对于任意正数 ，都 ．已知函数 的图象关于点 成中心对称，若 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数 的图象关于点 成中心对称，故函数 的图象关于点
成中心对称，记 是奇函数.
记 所以 是偶函数，
对于任意正数 ，都 ，即 ，所以
在 单调递增，且 ， 是偶函数,故 在 单调递减，且
当 时， ，
当 时， ，
故 的解集为 .
故选：B
7．已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足 ，则下列结论不正确的
是（ ）
A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2021）＝－1
【答案】B
【解析】对于A：因为f(x)是定义域在R上的奇函数，
所以 ，又 ，
令 代入可得 ，故A正确；
对于B：因为 ，
所以 图象关于 对称，无法确定是否关于直线x＝1对称，故B错误；
对于C：因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ，则 ，故C正确；对于D：由C选项可得， 的周期为8，
所以 ，故D正确；故选：B
8．函数 满足 ，当 时都有 ，且对任意的
，不等式 恒成立．则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得函数 为偶函数，在 单调递增，
则对任意的 ，不等式 恒成立，
则不等式 ， 恒成立，则 ， 恒成立，
得 ，得 ， 恒成立，
则 且 ，或 且 ， 恒成立，
即当 时， 且 ，或 且 ，
又当 ，有 ， ，
得 .故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．我们知道，函数 的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数. 有同学发现可以将其推广为: 函数 的图象关于点 成中
心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 现在已知，函数
的图像关于点 对称，则（ ）
A．
B．
C．对任意 ，有D．存在非零实数 ，使
【答案】ACD
【解析】：由题意，因为函数 的图像关于点 对称，
所以函数 为奇函数，
所以 ，故C正确；
又 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
则 ，故A正确，B错误；
令 ，
则 ，解得 或 ，
所以存在非零实数 ，使 ，故D正确.故选：ACD.
10．.函数 对任意 总有 ，当 时， ， ，
则下列命题中正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 是 上的减函数
C． 在 上的最小值为
D．若 ，则实数 的取值范围为
【答案】CD
【解析】：取 ， ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，
即 ，函数 是奇函数，所以选项A错误；
令 ，且 ，则 ，
因为当 时， ，所以 ，
则 ，
即 ，函数 是 上的增函数，所以选项B错误；
因为函数 是 上的增函数，所以函数 在 上的最小值为 ，
， ，，
故 ， 在 上的最小值为 ，所以选项C正确；
，即 ，
因为函数 是 上的增函数，，所以 ，所以实数 的取值范围为 ，所以选项
D正确.故选：CD.
11．定义在R上的偶函数f（x）满足 ，且在 上是增函数，则下列关
于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线 对称 B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数 D．
【答案】AD
【解析】：根据题意，若 ，则 ，
即 ， 是周期为2的周期函数，
则有 （2） ，故D选项正确；
若 ，且函数 为偶函数，
则有 ，则函数 的图象关于直线 对称，故A选项正确；
在 ， 上是增函数，且函数 为偶函数，
则函数 在 ， 上是减函数，B选项错误；
在 ， 上是增函数，且 是周期为2的周期函数，
则函数 在在[1，2]上是增函数，C选项错误.
故选：AD.
12．（多选）定义在 上的奇函数 ，满足任意的 ，都有 成立，
且当 时， .下列说法中正确的有（ ）
A．函数 为周期函数
B．函数 的对称中心为
C．当 时，函数 的图象与 轴围成图形的面积为 平方单位
D．
【答案】ACD
【解析】因为奇函数 满足 ，所以 ，所以有，所以 为周期为 函数，故A正确；
又 表示 图象关于直线 对称，结合当 时， ，可
以作出函数 的图象，如图：
显然（1,0）不是对称中心，B错误；
当 时，函数 的图象与 轴围成图形的面积为 个平方单位，C正
确；
由图象可知， ，因为周期为4，而 ，所以
，D正确.
故选：ACD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，若 ，
，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】：由 ，可得
则 ，故函数 的周期为 ，
则 ，
又因为函数 是定义在 上的奇函数， ，
所以， ，即
所以 ，解得
所以，实数 的取值范围是 ．
故答案为：
14．若 ， ， ， ，使则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】原问题等价于函数 的值域是函数 值域的子集．
在 上，二次函数 的值域是 ，
单调递增的一次函数 的值域是 ，
则 ，
则 且 ，解得 ．
故答案为： ．
15．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若对任意的 ，
不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______________.
【答案】
【解析】由题意知 ，则 ，
所以 恒成立等价于 恒成立.
由题意得 在R上是增函数，
所以 恒成立，即 恒成立.
又 ，所以当 时， 取得最大值
所以 ，解得 .
故实数a的取值范围是 .
故答案为： .
16．已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的
实数解，则 的取值范围是______________.
【答案】
【解析】：分类讨论：当 时，方程 即 ，
整理可得： ，很明显 不是方程的实数解，则 ，
当 时，方程 即 ，
整理可得： ，
很明显 不是方程的实数解，则 ，
令 ，
其中 ，
原问题等价于函数 与函数 有两个不同的交点，求 的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，
同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，
结合 观察可得，实数 的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 （10分）
已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若 对所有 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【解析】(1)因为函数 为定义域上的奇函数，所以 ，
当 时， ，所以 ，
因为 是奇函数，所以 ，
所以 ，
所以
(2)作出 在区间 上的图象，如图：
可得函数 在 上为减函数，所以 的最小值为 ，
要使 对所有 ， 恒成立，
即 对所有 恒成立，
令 ， ，
则 ，即 ，
可得： ，
所以实数 的取值范围是 .
18 （12分）
已知函数 是定义在 上的函数， 恒成立，且
(1)确定函数 的解析式；
(2)用定义证明 在 上是增函数；
(3)解不等式 ．【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【解析】(1)：因为函数 ， 恒成立，
所以 ，则 ，此时 ，所以 ，
解得 ，所以 ；
(2)证明：设 ，
则 ，
，
，且 ，则 ，则 ，即 ，
所以函数 是增函数．
(3) ，
，
是定义在 上的增函数，
，得 ，所以不等式的解集为 ．
19 （12分）
已知二次函数 ．
(1)若 在区间 上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)若 在 上恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：因为 在 单调递增，
所以 ，解得 ；
(2)因为 在 上恒成立，
所以 在 恒成立，即 在 恒成立．
令 ，则 ，
当且仅当 时等号成立．
所以 ．
20（12分）
已知定义在 上的函数 满足：
①对任意 ， ， ；
②当 时， ，且 ．
（1）试判断函数 的奇偶性．
（2）判断函数 在 上的单调性．
（3）求函数 在区间 上的最大值．
（4）求不等式 的解集．
【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4） 或 ．
【解析】（1）令 ，则；，得 ；再令 ，
则 ，得 ．
由 ，令 ，则 ，∴ ．
又函数 的定义域关于原点对称，∴函数 为偶函数．
（2）任取 ， ，且 ，则有 ．
又∵当 时， ，∴ ．
而 ，
即 ，
∴函数 在 上是增函数．
（3）∵ ，且 ，∴ ．
又由（1）（2）知函数 在区间 上是偶函数且在 上是增函数，
∴函数 在区间 上的最大值为 ．
（4）∵ ， ，∴原不等式等价于 ，
又函数 为偶函数，且函数 在 上是增函数，
∴原不等式又等价于 ，
即 或 ，
得 或 ，
得 或 ，
∴不等式 的解集为 或 ．
21（12分）
函数 的定义域为 ，且对一切 ，都有 ，当 时，
总有 .
（1）求 的值；
（2）判断 单调性并证明；
（3）若 ，解不等式 .
【答案】（1） （2） 是 上的增函数，证明见解析（3）
【解析】
【分析】(1)令 ,得 ,∴ .
(2) 是 上的增函数,证明：任取 ,且 ,则 ,
∴ ,∴ ,
即 ,
∴ 是 上的增函数.
(3)由 及 ,可得 ,结合（2）知不等式 等价于
,可得 ,解得 .所以原不等式的解集为 .22（12分）
已知函数 对一切实数 都有 成立，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）设 当 时，不等式 恒成立； 当 时，
是单调函数.若 至少有一个成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 .
【解析】（1）令 ， ，
则由已知 ，有
（2）令 ，则 ，
又∵ ，∴
（3）不等式 ，
即 ，
即 .当 时， ，
又 恒成立，故
，
又 在 上是单调函数，
故有 ，或 ，∴ 或
∴ 至少有一个成立时 的取值范围 或
