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第三章 函数概念及性质
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：设 ，则 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
2．已知 则 的值为（ ）
A． B．2 C．7 D．5
【答案】B
【解析】 ， 故选：B
3．函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 有意义，则有 ，解得 且 ，
所以原函数的定义域是 .故选：A
4．已知 ，若 ，则 等于
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 即 ，选D.5．若 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】f（ 1）＝x+ ，
设 t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，
∴f（t）＝（t﹣1）2+ ﹣1＝t2﹣t，t≥1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．
故选： .
6．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数 ， ，可得 ，
因此，函数 的定义域是 .故选：C.
7．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则当 时，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ， .
当 时， ， .故选：D.
8．若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
2【解析】根据题意，画出函数示意图：
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；当 时，显然成立，
综上 .故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AD
【解析】A选项，因为 在 上递增，
若 ，则 ，故A正确；
B选项， 时 等价于 ，
取 ，则 ，故B错，
C选项， 时 等价于 ，
取 ，故C错，
D选项， ，，
，即
故D正确.
故选：AD .
10．下列说法中错误的是（ ）
A．幂函数的图象不经过第四象限
B． 的图象是一条直线
C．若函数 的定义域为 ，则它的值域为
D．若函数 的值域为是 ，则它的定义域一定是
【答案】BCD
【解析】：对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；
对于B，因为当 时， 无意，即在 无定义，所以B错；
对于C，函数 的定义域为 ，则它的值域为 ，不是 ，
所以C错；
对于D，定义域不一定是 ，如 ，所以D错.
故选：BCD.
11．下列说法中正确为（ ）
A．已知函数 ，若 ，有 成立，则实数a的值为
4
B．若关于x的不等式 恒成立，则k的取值范围为
C．设集合 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．函数 与函数 是同一个函数
【答案】AC
【解析】对于A：由 成立，可得函数 的对称轴为 ，
又二次函数 的对称轴为 ，
所以 ，解得 ，故A正确；
对于B：当 时，可得 成立，满足题意，
4当 时，可得 ，解得 ，
综上k的取值范围为 ，故B错误；
对于C：当 时， ，所以 ，充分性成立，
若 ，则 或 ，解得 或 ，必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：函数 定义域为R，函数 的定义域为 ，
定义域不同，故不是同一函数，故D错误，
故选：AC
12．已知函数 是偶函数， 是奇函数，当 时， ，则下列
选项正确的是（ ）
A． 在 上为减函数 B． 的最大值是1
C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上
【答案】BCD
【解析】因为当 时， ，则函数 在
上递减，又函数 是偶函数，所以 在 上为增函数；故A错；
因为函数 是偶函数， 是奇函数，
所以 ， ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 以 为周期；
则 ，所以 关于直线 对称，
因此当 时， ；
当 时， ，则 ，又 ，
所以 ；
因为偶函数关于 轴对称，所以当 时， ；
综上，当 时， ；
又 是以 为周期的函数，所以 ， ，则 ，故B正确；
因为 ，函数 为偶函数，
所以 ，因此 ，所以 的图象关于直线 对
称；即C正确；因为 时， 显然恒成立，函数 是以 为周期的函数，
所以 在 上也满足 恒成立；故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据题意，函数 为二次函数，其对称轴为 ，
若 在区间 上是单调函数，则有 或 ，
解可得： 或 ，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
14．已知函数 ，若 则实数 的取值范围是____．
【答案】
【解析】由题意可知，函数 在 上单调递增，
则 ，
即 且 ，即 且 ，
解得 且 或 ，即
故答案为： .
15．对 ，函数 满足 ， .当 时
.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为______.
【答案】 ##
6【解析】∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴函数 的周期为4，
又当 时 ，
∴ ， ，
，
∴ .故答案为： .
16．已知函数 满足 ， ，且 ， .
若 ，则 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为函数 满足 ，所以 ，即 ，
所以 是奇函数；
，且 ，不妨取 ，因为 ，所以 ，所以
是减函数.因为 ，可得 ，
即 ，所以 ，
解得 ，所以 的取值范围是 故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
(1)求 的值；
(2)判断 在 上的单调性，并用定义证明；
【答案】(1) ，
(2) 在 上单调递增，证明见解析【解析】(1) 是定义在 上的奇函数， ，解得： ；
， ；
经检验：当 ， 时， ，则 ， 为奇函数；
， .
(2) 在 上单调递增，证明如下：
设， 在 内
；
， ， ， ， ，
是在 上单调递增.
18（12分）
定义在 上的单调增函数 满足：对任意 都有 成立
(1)求 的值；
(2)求证： 为奇函数；
(3)若 对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【解析】(1)：由题意，函数 满足：对任意 都有 成立
令 ，则 ，所以 ．
(2)解：由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，可得 ，
因为 ，所以
所以函数 为奇函数.
(3)解：因为 对 恒成立，
即 对 恒成立，
8即 对 恒成立，
因为 是 上的单调递增函数，所以 ，即 ，
即 对 恒成立，
因为函数 为单调递增函数，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
19（12分）
已知函数 是定义在 上的奇函数，且
(1)求 的值
(2)用定义法证明 在 上的单调性，并求出在 上的最大值和最小值．
【答案】(1) (2)证明见解析；
【解析】
(1)解：由 ，
可得 ，
此时 ，符合题意；
(2)设 ，
，
，
由 ，
，
故 ，
所以 在 上单调递减，
此时 .
20．（12分）设 是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有 ．当 时，
．
(1)求证： 是周期函数；
(2)计算： ．
【答案】(1)详见解析；(2)1
【解析】(1)
因为 ，
所以 ，
所以 是以4为周期的周期函数；
(2)因为 时， ，
所以 ， ，
又由（1）知： 是以4为周期的周期函数，
所以
，
所以
.
21．（12分）
设函数 且 ．
(1)判断函数 的奇偶性；
(2)若 ，试判断函数 的单调性．并求使不等式 对一切
恒成立的 的取值范围；
(3)若 ， 且 在 上的最小值为 ，求 的值．
【答案】(1)奇函数(2) (3)
【解析】(1) 的定义域为 ，关于原点对称，且 )，
为奇函数．
(2) 且 ．
， ，
10又 ，且 ，
，
故 在 上单调递减，
不等式化为 ，
，即 恒成立，
，
解得 ；
(3) ， ，即 ，
解得 或 舍去)，
，
令 ，由(1)可知 为增函数，
， ，
令 ，
若 ，当 时， ， ；
若 时，当 时， ，解得 ，无解；
综上， .
22 （12分）
已知函数 满足 ，当 时， 成立，
且 ．
(1)求 ，并证明函数 的奇偶性；
(2)当 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，证明见解析；(2) .
【解析】(1)
解：令 ，可得 ，
令 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以 为奇函数；
(2)解： ，即 ，
所以 ，
又当 时， 成立，所以 为增函数，
所以 在 上恒成立，
令 ，可得 在 上恒成立，
又 ， ，所以当 时， ，
所以 ，即 .
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