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第五章 三角函数
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D .故选：D
2．若 ，则 等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A因为 ，
所以 ，
所以 ，故选：A
3．若 ，则 的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C∵ ，由诱导公式可得 ，
即 ，
∴ .故选：C4．计算 （ ）．
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【解析】 ．
故选：C
5．设 >0,函数y=sin( x+ )+2的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则 的最小
值是
A． B． C． D．3
【答案】C函数 的图象向右平移 个单位后
所以有
故选C
6．已知 ，函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是
A． B． C． D．
【来源】人教A版（2019） 必修第一册 突围者 第五章 综合拓展
【答案】A
【解析】：因为 ，所以 ，
因为 ，函数 在 上单调递减，所以 ，得
2.当 时， ，所以 ，解得 ，
故选: .
7．设函数 的部分图象如图所示，若
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】人教A版（2019） 必修第一册 突围者 第五章 综合拓展
【答案】C
【解析】根据函数 的部分图象，可得：A=1;
因为 ， ，
结合五点法作图可得 ， ， ．
如果 ，且 ，结合 ，可得 ，
， ，故选：C．
8．将函数 的图象向右平移 个
单位长度后得到函数 的图象，若 ， 的图象都经过点 ，则 的值可
以是（ ）A． B． C． D．
【来源】人教A版（2019） 必修第一册 突围者 第五章 模拟高考
【答案】B
【解析】易得 .
因为函数 的图象过点 , ,所以代入函数解析式得 .
所以 .根据题意,得 ,
又因为 的图象也经过点 ,
所以代入得 ,
将 、 、 或 代入 ,只有 成立.
故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设函数 ，给出下列命题，不正确的是（ ）．
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．把 的图象向左平移 个单位长度，得到一个偶函数的图象
D． 的最小正周期为 ，且在 上为增函数
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以A不正确；
因为 ，所以B不正确；
4因为函数 的最小正周期为 ，但 ，所以D不正确；把
函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，函数 为偶函数，所以C正确．
故选：ABD.
10．下列四个关系式中错误的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由 ，
， ，
，代入各选项，
得 ，A正确，B错误，右边应是 ；C错误，右边应
是 ；D错误，由 与 两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积
角度考虑．左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即
．
故选：BCD．
11．如图是函数 在区间 上的图象．为了得到这个函数的图
象，只要将 的图象上所有的点（ ）．
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的 ，纵坐标不变C．把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【来源】人教A版（2019） 必修第一册（下） 重难点知识清单 第五章 三角函数
单元学能测评
【答案】AC
【解析】由图象知，A=1,T=π，所以 =2，y=sin（2x+ ），将（ ，0）代入得：sin(
)=0，所以 =kπ， ，取 = ，得y=sin（2x+ ），
向左平移 ，得 ．然后各点的横坐标缩短到原来的 ，得
．故A正确．
各点的横坐标缩短到原来的 ，得 ．然后向左平移 个单位，得
．故C正确．
故选：AC
12．对于函数 ，下列说法中正确的是（ ）．
A．该函数的值域是
B．当且仅当 时，函数取得最大值1
C．当且仅当 时，函数取得最小值
D．当且仅当 时，
【来源】人教A版（2019） 必修第一册（下） 重难点知识清单 第五章 三角函数
单元学能测评
【答案】ACD
【解析】画出函数 的图象（如图所示），由图象容易看出，该函数的值域是 ．
6当且仅当 或 ， 时，函数取得最大值1．当且仅当 ，
时，函数取得最小值 ．当且仅当 ， 时， ，
故ACD正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知 ， ，则 __________．
【答案】 因为 ，
所以 ，①
因为 ，
所以 ，②
① ②得 ，
即 ，
解得 ，
故本题正确答案为
π
14．已知 ，tanα=2，则cos(α− )=______________．
4
【答案】
【解析】由 得 ，又 ，所以 ，因为
，所以 ，因为 ，所以
．15．函数 的部分图象如图所示，则 _________.
【答案】 由图可知， ，即
由 得： ， ，
故答案为：
16．已知 ，点 为角 终边上的一点，且
，则角 ________．
【答案】 ．
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ， ．
又 ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴
．
8∵ ，∴ ．
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】(1)20，（2）
【解析】(1)由 ，得 ，所以
＝
（2）∵ ，∴
18．（12分）已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.
【答案】（1）最小正周期为 ，单调减区间是 ， ；（2）
，此时 ， ，此时 .
【解析】解：（1） 的最小正周期 .
令 ，解得 ， ，此时时， 单调递减，
的单调递减区间是 ， ；（2） ，则 ，
故 ， ，
，此时 ，即 ，即 ；
，此时 ，即 ，即 .
19．（12分）设函数
（I）求函数 的最小正周期；
（II）设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ；
求函数 在 上的解析式．
【答案】（I） ；（II）
【解析】
（I）函数 的最小正周期
（2）当 时，
当 时，
当 时，
得：函数 在 上的解析式为
20．（12分）已知函数 .
（1）当 时，求 的值域；
10（2）若 ，且 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值
【来源】人教A版（2019） 必修第一册 突围者 第五章 综合拓展
【答案】(1) ；（2） ；（3）
【解析】解：（1） . ，
，
，
当 时， 的值域为 .
（2） ， ，
又 ， ， ，
故
.
（3） ， ， ，
.
21．（12分）已知函数 的图象在 轴右侧的第一
个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和 .若将函数 的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于原点对称.
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 的周期为 ，当 时，方程 恰有两个不同的解，求实数 的取值范围.
【来源】人教A版（2019） 必修第一册 突围者 第五章 综合拓展
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意可知函数 的周期 ，且 ，所以 ，故
.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象对应的函数解
析式为 ，因为函数 的图象关于原点对称，所以
，即 .
又 ，所以 ，故 .
（2）由（1）得函数 ，其周期为 ，
又 ，所以 .令 ，因为 ，所以 ，
若 在 上有两个不同的解，则 ，
所以当 时，方程 在 上恰有两个不同的解，即实数 的
取值范围是 .
22．（12分）已知 ，函数 ，当 时，
.
（1）求常数 的值；
（2）设 且 ，求 的单调区间.
【来源】人教A版（2019） 必修第一册 突围者 第五章 综合拓展
【答案】（1） ；
（2）递增区间为 ；递减区间为 .
12（1）由 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，解得 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当 时，解得 ，
此时函数 单调递增，即 的递增区间为
当 时，解得 ，
此时函数 单调递减，即 的递减区间为 .14
