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专题 3.1 函数概念及其表示
【知识储备】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的
任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合
A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的
值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 { f ( x ) | x ∈ A } 叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，
这种函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段
函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
必备技巧 函数的概念
(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只
有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A
中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判
断定义域和对应关系即可.
一、单选题
1．若函数 的定义域M＝{x| }，值域为N＝{y| }，则函数
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故错误；
C中图象不表示函数关系，因为存在一个 对应两个 ，不满足函数定义；
D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.
只有 中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.
2．设 ，给出下列四个图形，如下图所示，其中能
表示从集合 到 的函数关系的有( )个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】由函数的定义知，①不能表示集合 到 的函数关系，因为图中y的范围是
[0，2]；②不能表示集合 到 的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]；
③不能表示集合 到 的函数关系，因为对于一个x，可能有两个y值与之对应；
④能表示集合 到 的函数关系.
故满足题意的有④，共1个.
故选：A.
3．函数 ＋ 的定义域为（ ）
A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C． (3，＋∞) D．(3，＋∞)
【来源】黑龙江省绥化市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
【答案】C
【解析】要使函数 ＋ 有意义，则
所以 ，解得 且 ，所以函数 ＋ 的定义域为 ∪(3，＋∞).故选：C.
4．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】B
【解析】A中， 的定义域为 ， 的定义域为R，故A错误；
B中， ，B正确；
C中， 的定义域为R， 的定义域为 ，故C错误；
D中， 的定义域为 ，由 可得 的定义域为
，D错误.
故选：B
5．已知函数 与x的值对应如下表，
x 1 2 3 4 5 6
1
5 10 20 25 30
5
那么函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【来源】广西普通高中2021-2022学年高二6月学业水平考试 数学试题
【答案】A
【解析】由题意知：函数 的定义域为 .
故选：A.
6．下列关于函数与区间的说法正确的是（ ）
A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了
C．数集都能用区间表示
D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
【答案】D
【解析】对于A，函数的定义域和值域均为非空数集，A错误；
对于B，若函数的定义域和值域均为 ，对应法则可以是 ，也可以是 ，B
错误；对于C，自然数集无法用区间表示，C错误；
对于D，由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应，D正确.
故选：D.
7．已知函数 ，则 的值是（ ）．
A． B．0 C．1 D．20
【来源】广西十八校2021-2022学年高一10月联考数学试题
【答案】B
【解析】 ，
则
故选：B
8．已知函数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．0
【来源】安徽省皖北县中联盟2021-2022学年高一上学期12月联考数学试题
【答案】D
【解析】由题意，函数 ，令 ，解得 ，
令 ，可得 .
故选：D.
9．已知函数 ，其中 是x的正比例函数， 是x的反比例函数，
且 ，则 （ ）A．3 B．8 C．9 D．16
【来源】陕西省西安市阎良区2021-2022学年高二下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】根据题意设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
10．已知 ，函数 ，若 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．5 D．6
【来源】吉林省吉林市2022届高三第四次调研测试数学（理）试题
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
故选：B
11．函数 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【来源】专题06 函数的图像（讲义）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高
考专用）
【答案】C由题意，函数 ，
因为 ，即函数 的图象过点 ，可排除A、B项；
又因为 ，可排除D项，
故选：C.
12．设函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．18
【答案】B
【解析】 ，故选：B
13．某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用
有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用 和 表示，然后
在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面
直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数 ，使得这些点都在 的
图象上，若 ，则下列叙述正确的是（ ）
A．该月12日是星期二，有五天是星期二 B．该月12日是星期一，有四天是星期
二
C．该月23日是星期六，有五天是星期六 D．该月23日是星期二，有四天是星期
二【来源】安徽省阜阳市2021-2022学年高三上学期期末教学质量统测文科数学试题
【答案】C
【解析】由题意及 可知，7月4日是星期一，列表如下：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
可知选项C正确.
故选：C.
{x2+2x,x≤0
14．设函数f (x)= ，若 ，则实数a的值为
−x2,x>0
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ， ，则
1° 时， ，则 无解．
2° 时， ，∴ ，∴
时， ，则 ； 时， 无解
综上： .
故选：B．
15．已知函数 ，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 ，且 ，
当 时， ，即 ，
解得 或 ，
当 时， ，无解，
综上： ，
所以 ，
故选：A
16．设函数 ，若 是函数 的最小值，则实数a的取
值范围是( )
A．[﹣1，2] B． C． D．[0，2]
【答案】D
【解析】由题意，不妨设 ， ，
①当 时，由一元二次函数的性质可知， 在 上单调递增，
故对于 ， ，这与 是函数 的最小值矛盾；
②当 时， ， ，
由一元二次函数的性质可知， 在 单调递减，
故对于 ， ，
当 时， 在 时取得最小值2，
从而当 时，满足 是函数 的最小值；
③当 时，由一元二次函数性质， 在 上单调递减，故对于 ， ，
当 时， 在 时取得最小值 ，
若使 是函数 的最小值，只需 且 ，解得， .
综上所述，实数a的取值范围是 .
故选：D.
17．已知函数 在 上有最大值，那么实数 的取值范围为
（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，
且最大值在 处取得则 ∴ .故选：D
18．定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，
当 时， ，则 （ ）
A．336 B．338 C．337 D．339
【来源】江西省宜春市奉新县第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试
题
【答案】B
【解析】：因为当 时， ，所以 ， （1） ， （2） ，
又因为 ，所以函数的周期为6， （6） ，
当 时， ，所以 （3） ， （4） ，
（5） ，所以 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ，
故 （1） （2） （3）
（1） ．故选：B．
19．设函数 ，则 的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】安徽省六安市第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
【答案】B
【解析】令 ，则可得
所以 ，所以 故选：B
20．已知 ，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出 ， 在 上的图象如下图所示：
因为 在 上恒成立，所以 的图象在 的图象的上方（可
以部分点重合），
且 ，令 ，所以 ，所以 ，根据图象可知：当 经过点 时， 有最小值， ，
当 经过点 时， 有最大值， ，
综上可知 的取值范围是 ，故选：C.
二、填空题
21．已知函数 对于任意的正实数x，y满足 ，且 ，则
=______．
【来源】黑龙江省哈尔滨第九中学校2022届高三下学期第四次模拟考试文科数学试题
【答案】4
【解析】由题可知 ， ．
故答案为：4.
22．函数 ，则
=_______．
【来源】甘肃省兰州市教育局第四片区2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
【答案】 ##2011.5
【解析】∵ ，且
∴
故答案为： ．
23．已知函数 ．若 ，则m=______．
【来源】山东省德州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题
【答案】3【解析】由已知 ．
， ，
故答案为：3．
24．设函数 ，若 ，则实数 的值为_____．
【来源】2.4.2 函数的表示（培优讲义）-2022年初升高数学无忧衔接
【答案】
【解析】由题意知， ；
当 时，有 ，解得 (舍去)；
当 时，有 ，解得 (舍去)或 ．
所以实数 的值是： ．
故答案为： .
25．已知函数 ，则 _____.
【来源】湖南省永州市第二中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题
【答案】 #1.125
【解析】∵ ， ，
因此， .故答案为： .
26．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
_________.
【来源】辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题
【答案】【解析】函数 的定义域为 ，即 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数的定义域为 .
故答案为： .
27．若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】 的定义域是R，则 恒成立，
时， 恒成立，
时，则 ，解得 ，
综上， ．
故答案为： ．
28．函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为
__________．
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题
【答案】
【解析】当 时， ，
当且仅当 即 时取等号，
函数 ，若 恒成立，则 ，即
，解得 ，故答案为： .
29．若方程 ，若方程 无解，则实数t的取值范围是
______．
【来源】上海市民办南模中学2022届高三下学期3月月考数学试题
【答案】
【解析】当 时， 时， ，当 时，方程
，方程 无解,
当 时， 时， ，方程 有解 ,不符合题意.
当 时， 时， , 无解，当 时，方
程 时，方程 有解, 不符合题意.
当 时， 时， , 无解，当 时，方程
时，方程 无解.
综上，方程 无解，则实数t的取值范围是 .
故答案为：
30．设 ， ，若 恒成立，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【解析】作出函数 的图像，向右平移一个单位得到 的图像，如图所示.
要使 恒成立，必有 ，即 ，
又 ，所以 .
故答案为：
