2024-2025 学年浙江省卓越联盟高一下学期 5 月阶段性联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|1<x<3}，集合B={2,3,4,5}，则集合A∩B=( )
A. {2} B. {3} C. {2,3} D. {2,3,4}
2.函数f(x)=cos3x的最小正周期为( )
π 2π
A. B. C. 2π D. π
3 3
3.函数 的定义域是( )
f(x)=x0+√(x+4)(1-x)
A. (-∞,-4]∪[2,+∞) B. (-4,0]∪(0，1)
C. [-4,0)∪(0,1] D. [-4,0)∪(0,1)
4.已知函数 的定义域为 ，且满足 { 3x+sin(x- π ),x⩽0，则 ( )
f(x) R f(x)= 3 f(4)=
f(x-1),x>0
√3 √3 √3 √3
A. B. 1- C. - D. 1+
2 2 2 2
5.轴截面为正方形的圆柱，侧面积为 ，体积为 ，若 ，则底面半径是( )
S(m2 ) V(m3 ) S=V
A. 1(m) B. π(m) C. 2π(m) D. 2(m)
1 1
6.已知a=log ( )，b=40.3，c=log ( )，则a，b，c的大小关系是( )
3 5 1 2
3
A. b>c>a B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b
7.已知二次函数 ，若不等式 的解集为 ，则函数 图像为
f(x)=ax2+bx+c f(x)≥0 [-1,2] g(x)=f(1-x)
( )
1 3
A. 开口向上，对称轴为x= 的抛物线 B. 开口向上，对称轴为x= 的抛物线
2 2
1 3
C. 开口向下，对称轴为x= 的抛物线 D. 开口向下，对称轴为x= 的抛物线
2 2
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1 38.在△ABC中，点D是BC的中点，点E在线段AC上，且AE:EC=2:1，AD和BE相交于点F，则
AF:FD的值为( )
A. 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 4:1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知ABCD-A B C D 为正方体，F-A B C D ，E-ABCD均为正四棱锥，所有棱长均为1，则
1 1 1 1 1 1 1 1
下列说法正确的是( )
A. AE//FC
1
B. 在棱所在的直线中，与直线AB异面的共有10条
1+√2
C. 以E为顶点，正方形ABCD外接圆为底面的圆锥的表面积是 π
2
√2
D. 以E为顶点，正方形ABCD外接圆为底面的圆锥的体积是 π
4
10.设复数z ，z (z ≠0)，z为z的共轭复数，下列说法正确的有( )
1 2 1
A. 若 ，则 B. 若 ，则 z 1
|z |=1 |z z |=|z | |z |=1 | 2|=
2 1 2 1 2 z |z |
1 1
C. 若 ，则 D. 若 ，则
|z +z |=|z -z | z z =0 z2+z2=0 z =z =0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
11.已知⃗a=(1,0)，⃗b=(-1,1)，函数f(x)=kx+ ，此函数图象上任意一点P(x,y)，均满足
x
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(OP⋅a)⋅(OP⋅b)
为定值。过点P做y轴的平行线，交y=x于点B，过点P做y=x的平行线，交y轴于点
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2 3C。则下列说法正确的是( )
A. k=1
B. k=2
C. 平行四边形OBPC四条边长度之积为定值8
D. 平行四边形OBPC面积为定值2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某台机器生产一种零件，在10天中，每天生产的次品数为：1，0，2，0，4，3，4，1，3，3，
则该机器生产次品数的中位数为 ．
13.在正方形 中， ，点 是 边的中点，点 在 边上，且 ⃗ ⃗ ，若
ABCD AB=√6 E BC F CD
CF=2FD
A
⃗
G=x A
⃗
E+(1-x)A
⃗
F
，
0≤x≤1
，则
A
⃗
G⋅B
⃗
D
的取值范围是 ．
3
14.满足方程 =2sin(πx)，(0⩽x⩽6且x≠3)的所有实数根的和为 ．
3-x
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
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3 3记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c(a,b,c互不相等)，已知acosC=(2a-c)cosA，点A
与点D分别在直线BC的异侧，且BD=CD=3。
(1)求证：B=2A;
π
(2)若AC=√3BC，∠BCD= ，求线段AD的长。
3
16.(本小题15分)
甲乙两个同学想对本市20岁以上的人群做一个网络消费水平的研究，已知本市20岁以上的人群男女性别比
例为21:20。两人决定用分层抽样的方法，随机选一部分人了解月平均网购水平。甲负责男性，乙负责女
性。下图是乙利用随机抽样的数据完成的频率分布直方图：
(1)求a的值
(2)估计被调查的女性中月均网购水平的第30百分位数(单位：百元)
(3)若已知被甲调查的男性月均网购水平的均值为5百元。估计被调查的女性中月均网购水平的均值，并求
被调查的全体人员网购水平的均值(精确到0.1)(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(单位：百元)
17.(本小题15分)
已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且满足
f(x) R g(x) R f(x)+g(x)=2ex+x2+x
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4 3(1)求f(x)与g(x)的解析式;
1 1
(2)设函数h(x)=f(x)+g(x)，且h(x2-2x+ )≥h(2x2- )恒成立，求实数x的取值范围。
2 2
18.(本小题17分)
π
已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)+1，(ω>0,0<φ<π)，满足相邻两条对称轴之间的距离为 ，
2
π
f(x)≤f( )对任意实数x恒成立。
6
(1)求函数f(x)的解析式;
π 1
(2)将函数f(x)的图象向右平移 ，再把各点横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，
6 2
π π
当x∈[- , ]时，求g(x)的值域;
8 8
π
(3)当x∈[0, ]时，解不等式f(x)≥sinx+1
2
19.(本小题17分)
如图，已知EA，CD垂直于Rt△ABC所在平面，且位于平面ABC同侧，∠ACB=90∘，CD=1，
AE=AC=BC=2。
(1)判断并证明以点D为球心，√3为半径的球与平面ABE的位置关系(当球心到平面α的距离等于半径时，
球与平面α相切，当球心到平面α的距离小于半径时，球与平面α相交，当球心到平面α的距离大于半径时，
球与平面α相离);
(2)以点D为球心√3为半径的球与线段BD交于点G，与线段DE交于点F，求直线GF与平面BCD所成角
的正弦值;
(3)若平面BDE与平面ABC交于l，求二面角E-l-A的正切值。
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5 3参考答案
1.A
2.B
3.C
4.B
5.D
6.A
7.C
8.D
9.ABC
10.AB
11.ACD
12.2.5
13.[-3,4]
14.12
15.解：(1) ∵acosC=(2a-c)cosA，
∴sin AcosC=2sin AcosA-sinCcosA，
∴sin AcosC+sinCcosA=2sin AcosA，
∴sin(A+C)=sin2A，
∴sinB=sin2A，
∴B=2A或B+2A=π，此时A=C(舍)，
∴B=2A；
π
(2)∵BD=CD=3，∠BCD= ，
3
π
∴∠DBC=∠DCB= ，
3
∴△BCD为正三角形，
∴BC=3，
∴AC=√3BC=3√3，
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6 3b a
由(1)知 = ，
sin2A sin A
3√3 3
∴ = ，
2sin AcosA sin A
√3
∴cosA= ，
2
π π π
∴A= ，B= ，∴∠BCA= ，
6 3 2
∴AB=2BC=2×3=6，
2π
∴∠ABD= ，
3
2π 1
∴ AD2=AB2+BD2-2⋅AB⋅BD⋅cos =36+9-2×3×6×(- )=63，
3 2
∴AD=3√7．
16.(1)∵组距为2，∴0.05+a+0.1+0.05+0.025+0.025+0.02+0.015+0.01+0.005=0.5∴a=0.2
0.2
(2)∵0.05×2=0.1∵ =1∴第30百分位数是2+1=3(百元)
0.2
(3)设女性月均网购水平的均值为x，
男性月均网购水平的均值为y，
n m 20 21
x=1×0.1+3×0.4+5×0.2+7×0.1+9×0.05+11×0.05+13×0.04+15×0.03+17×0.02+19×0.01=5.5ω= x+ y= ×5.5+ ×5=5.2
n+m n+m 41 41
17.解：
(1)∵f(-x)+g(-x)=2e-x+x2-x
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
∴f(x)-g(x)=2e-x+x2-x∵f(x)+g(x)=2ex+x2+x
1 1 1
∴f(x)=ex+e-x+x2g(x)=ex-e-x+x(2)∵x2-2x+ =(x-1) 2- ∈[- ,+∞)，
2 2 2
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7 31 1
2x2- ∈[- ,+∞)
2 2
1
设- <x <x ，h(x )-h(x )=2ex 1+x2+x -2ex 2-x2-x
2 1 2 1 2 1 1 2 2
=2(ex 1-ex 2)+(x -x )(x +x )+(x -x )=2(ex 1-ex 2)+(x -x )(x +x +1)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
∵- <x <x ∴x +x +1>0∴(x -x )(x +x +1)<0，2(ex 1-ex 2)<0∴h(x )-h(x )<0∴h(x)在
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
(- ,+∞)上单调递增
2
1 1
∴x2-2x+ ≥2x2- ∴x2+2x-1≤0∴x∈[-1-√2,-1+√2].
2 2
π
18.解：(1)∵两条相邻对称轴之间的距离为 ，
2
∴T=π∴ω=2，
π
又∵f(x)≤f( )
6
π π π
∴x= 时f(x)取最大值，即2× +φ= +2kπ，k∈Z，
6 6 2
π
∴φ= +2kπ，k∈Z，
6
π
又∵0<φ<π∴φ= ，
6
π π
∴f(x)=√3sin(2x+ )+1(2)由(1)得f(x)=√3sin(2x+ )+1，
6 6
π
将函数f(x)的图象向右平移 ，得
6
π π π π π
y=√3sin[2(x- )+ ]+1=√3sin(2x- + )+1=√3sin(2x- )+1，
6 6 3 6 6
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8 31 π
再把所得函数图像各点横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变)，得到g(x)=√3sin(4x- )+1，
2 6
π π π 2π π π √3
∵x∈[- , ]，∴4x- ∈[- , ]，∴sin(4x- )∈[-1, ]，
8 8 6 3 3 6 2
5 5
∴g(x)∈[1-√3, ]，即g(x)的值域为[1-√3, ].
2 2
π
(3)f(x)≥sinx+1⇔√3sin(2x+ )≥sinx，
6
π
方法一：由图知x∈[0, ]
3
π π π 5π π 1
方法二，当x∈[0, ]时2x+ ∈[ , ]，sin(2x+ )∈[ ,1]，
3 6 6 6 6 2
π √3 √3
∴√3sin(2x+ )∈[ ,√3]，sinx∈[0, ]，∴不等式成立，
6 2 2
π π π 5π 7π π 1 1
当x∈( , ]时，2x+ ∈( , ]，sin(2x+ )∈[- , )，
3 2 6 6 6 6 2 2
π √3 √3 √3
√3sin(2x+ )∈[- , )，sinx∈( ,1]，不等式不成立，
6 2 2 2
π
∴x∈[0, ]
3
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9 319.解：(1)取AB中点H，
∵CA=CB∴CH⊥AB∵AE⊥平面ABC∴AE⊥CH∴CH⊥平面ABE
∴d =CH，又∵∠ACB=90∘
C-ABE
∴CH=√2，易知AE//CD
∴CD//平面ABE∴d =d ，
D-ABE C-ABE
d =√2<R∴以D为球心√3为半径的球与平面ABE相交；
D-ABE
(2)过E作EI//AC交CD的延长线与CD于I，
易知AC⊥BC，CD⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，
∴CD⊥AC又BC∩CD=C，BC，CD⊂平面CBD，
∴AC⊥平面CBD，
即EI⊥平面CBD，
易知DE=√5，BD=√5，DF=DG=R=√3
∴FG//BE∴GF与平面BCD所成角等价于BE与平面BCD所成角，
即∠IBE即所求；
IE 2 √3
∵BE=2√3∴sin∠IBE= = = ；
BE 2√3 3
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10 3(3)延长AC，ED交于K，连接BK，
∵AE=2，CD=1，CD//AE
CK CD 1
∴ = = ∵AC=2∴CK=2∵∠BCA=90∘ ，
AK AE 2
∴ΔBCK是等腰直角三角形，
∴∠KBC=45∘，
又∵∠CBA=45∘，
∴∠KBA=90∘，即AB⊥BK，
又∵AE⊥平面ABC，BK⊂平面ABC，
∴AE⊥BK又AB∩AE=A，AB，AE⊂面ABE，
∴BK⊥面ABE，
又BE⊂面ABE，
∴BK⊥BE，
∴∠EBA即所求二面角E-l-A的平面角，
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11 3AE 2 √2
则tan∠EBA= = = ；
AB 2√2 2
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12 3
