文档内容
建立数学模型解决实际问题
主要命题方向
1. 函数模型的增长差异；2. 巧用图象比较大小；3. 几种函数模型的应用；4. 一次函数与分段函数模型
问题；5. 二次函数模型问题；6. 指数型、对数型函数模型应用问题；7. 建模思想——函数模型的确定；
8. 指数、对数函数型实际应用问题.
配套提升训练
一、单选题
1．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成
1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工
作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人
每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要
志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【解析】
由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故选：B
2．（2020·全国高一课时练习）某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可
选择的模拟函数模型是（ ）A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b
【答案】B
【解析】
从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数.
故选：B
3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中随x的增长而增长最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由于 是指数函数， 是对数函数， 是幂函数， 指数函数，
由于当x足够大时，指数函数的增长速度最快，呈爆炸式增长，且2个指数函数的底数分别为e 和 2，且
，故增长速度最快的是 .
故选：A．
4．（2020·浙江高一课时练习）当 时， ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
在平面直角坐标系中，作出 ， ， 在 时的图象如下图所示：由图象可知，当 时，
故选：
5．（2020·全国高一课时练习）一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图，那么图像所
对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
【答案】A
【解析】
根据函数图象由不同的直线段构成可知,函数是分段函数，在每一段上函数是一次函数，故选A.
6．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来
反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（ ）
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
【答案】D
【解析】
由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系.
故选：D.
7．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程f(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数
i
关系分别是f(x)＝x2，f(x)＝4x，f(x)＝log x，f(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的
1 2 3 2 4
函数关系是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝4x C．f(x)＝log x D．f(x)＝2x
1 2 3 2 4
【答案】D
【解析】
由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为 ，故选D．
8．（2020·湖北郧阳�高二月考）一种药在病人血液中的量保持 以上才有效，而低于 病人
就有危险．现给某病人注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时 的比例衰减，为了充分发
挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：
， ，答案采取四舍五入精确到 ）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
【答案】A
【解析】
设从现在起经过 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
则 ， ， ， ，．
故选：A．
9．（2018·四川高三其他（理））中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而
且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级
L（单位：dB）与声强I的函数关系式为： ．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的
1
声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
【答案】B
【解析】
由题意， ， ，
则 ，即 ，
所以 ，即普通列车的声强是高速列车声强的 倍.
故选：B.
10．（2020·沙坪坝�重庆一中高三月考（理））为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公
元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了
1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可
以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为 的星的亮度
为 .已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当 较小时， ）
A．1.27 B．1.26 C．1.23 D．1.22
【答案】B
【解析】
由题意 ， ,
∴ ．
故选：B．
二、多选题
11．（2019·全国高一课时练习）在某种金属材料的耐高温试验中，温度 随着时间 变化的情况由计算机
记录后显示的图像如图所示给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．前5min温度增加的速度越来越快
B．前5min温度增加的速度越来越慢
C．5min以后温度保持匀速增加
D．5min以后温度保持不变
E.温度随时间的变化情况无法判断
【答案】BC
【解析】
温度y关于时间t的图像是先凸后平即5min前每当t增加一个单位增量 ，
则y相应的增量 越来越小，而5min后y关于t的图像是直线，即温度匀速增加，
则BC正确.
故选：BC
12．（2019·全国高一课时练习）（多选）下面对函数 与 在区间 上的衰减情况的说法中错误的有（ ）
A． 的衰减速度越来越慢, 的衰减速度越来越快
B． 的衰减速度越来越快， 的衰减速度越来越慢
C． 的衰减速度越来越慢， 的衰减速度越来越慢
D． 的衰减速度越来越快， 的衰减速度越来越快
【答案】ABD
【解析】
在平面直角坐标系中画出 与 图象如下图所示：
由图象可判断出衰减情况为： 衰减速度越来越慢； 衰减速度越来越慢
故选：
13．（2019·全国高一课时练习）（多选）有一组实验数据如表所示：
1 2 3 4 5
1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型较不适合的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD【解析】
由所给数据可知 随 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的
函数增长速度保持不变，
故选ABD.
m2
)
14.如图，某池塘里的浮萍面积 （单位： 与时间 （单位：月）的关系式为 ，且
； ，且 ．则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍面积从 蔓延到 只需经过5个月
D．若浮萍面积蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则
【答案】BC
【解析】
由题意可知，函数过点 和点 ，代入函数关系式： ，且 ； ，且 ，
得： ，
解得： ，函数关系式： ，
函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项 错误，
当 时， ，浮萍的面积超过了 ，故选项 正确，
令 得： ；令 得： ，所以浮萍面积从 增加到 需要5个月，故选项 正确，
令 得： ；令 得： ；令 得： ，
，故选项 错误，
故选：BC
三、填空题
15．（2020·全国高一课时练习）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度
看，更为有前途的生意是________.
① ；② ；③ ；④
【答案】①
【解析】
由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，
更为有前途的生意，
故答案为：①.
16．（2020·衡水中学实验学校高三一模（文））某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：
满足函数关系 为自然对数的底数， 、 为常数），若该食品在 的保鲜时
间是192小时，在 的保鲜时间是48小时，则该食品在 的保鲜时间是___小时.
【答案】24
【解析】由题意可得， 时， ，
时， .
代入函数 ，
可得 ， ，
即有 ，
，
则当 时， .
故答案为：24.
17．（2020·全国高三月考（理））2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速
繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波
及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有 只，则经过____________天能达到最初的
16000倍（参考数据： ， ， ， ）.
【答案】199
【解析】
设过x天能达到最初的16000倍，由已知 ， ，又 ，所
以过199天能达到最初的16000倍.
故答案为：199.
四、双空题
18．（2020·浙江高一单元测试）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本
（单位：元/（ ））与上市时间 （单位：天）的数据如下表：时间 （单位：天） 60 100 180
种植成本 （单位：元/（ ）） 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 与上市时间 的变化关系： ，
， ， ．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数
是________；最低种植成本是________元/（ ）．
【答案】120 80
【解析】
因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当 和 时种植成本相等，再结合题中给出
的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数 描述．将表中两组
数据 和 代入，
可得 ，解得 ．
所以 ．
故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/（ ）．
故答案为：120；80.
19．（2019·山东黄岛�高三期中）声强级 （单位： ）由公式 给出，其中 为声强
（单位： ）.
（1）平时常人交谈时的声强约为 ，则其声强级为______ ；（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ，能听到的最低声强为 ，则正常人听觉的
声强级范围为______ .
【答案】60
【解析】
（1）当 时， ；
（2）当 时， ，
当 时， ，则正常人听觉的声强级范围为
故答案为：60；
20．（2020·全国高三专题练习（理）） 年 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着
中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明
史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳 的
质量 随时间 （单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳 原有的质量），则经过
年后，碳 的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 的质量是原来的 至
，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到 年之间．（参考数据：
）【答案】
【解析】
当 时， 经过 年后，碳 的质量变为原来的
令 ，则
良渚古城存在的时期距今约在 年到 年之间
故答案为 ；
21．（2020·全国高一课时练习）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程
中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式
y＝ (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不高于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至
少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
【答案】 0.6．
【解析】（1）依题意，当 ，可设 与 的函数关系式为 ，
易求得 ，∴ ，
当 时，y与t的函数关系为 ，观察图象过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ；
∴ 含药量 与 的函数关系式为
（2）由图像可知 与 的关系是先增后减的，在 时， 从 增加到1；
然后 时， 从1开始递减． ∴当药物含量到0.25毫克时，由 ，解得 ，
∴至少经过0.6小时，学生才能回到教室
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为
10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本
金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
【答案】按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得
利息3.86万元．
【解析】
本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多
得利息3.86万元．
23．（2020·浙江高一单元测试）研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 ，单位是 ，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
（3）若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.
【答案】（1） ；（2）一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位；（3）鲑鱼A的耗氧量较大.
【解析】
（1）将 代入函数关系式，得 ，
所以一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是 .
（2）令 ，得 ，即 ，则 ，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.
（3）鲑鱼A的耗氧量较大.
理由：由 ，得 ，即 ，则 ，
所以鲑鱼A的耗氧量较大.
24．（2020·浙江高一课时练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速
前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s
（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减
少多少分钟？【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min
【解析】
（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，
将（30，800），（60，2000）代入得，
，解得 ，
∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．
（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，
则 ，解得 ．
即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，
解方程组 ，得 ，
即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．
（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，
∵75–60=15，
∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，
则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．
25．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））函数 和 的图像的示意图如图所示，
两函数的图像在第一象限只有两个交点（1）请指出示意图中曲线 分别对应哪一个函数；
（2）比较 的大小，并按从小到大的顺序排列；
（3）设函数 ,则函数 的两个零点为 ，如果 ，其中
为整数，指出 的值，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）C 对应的函数为 ，C 对应的函数为 .（Ⅱ）
1 2
（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）C 对应的函数为 ，C 对应的函数为 .
1 2
（Ⅱ）
所以从小到大依次为 ．
（Ⅲ）计算得
理由如下：
令 ，
由于 ，
则函数 的两个零点
因此整数
26．（2020·吉林公主岭�高一期末（理））节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国
家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的
污染物数量为 ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为 .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为 ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为 ,则第n次改良后所
排放的废气中的污染物数量 ,可由函数模型 给出,其中n是指改
良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;
（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过 ,试问至少进行多少次
改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
（参考数据:取 ）
【答案】（1） （2）6次
【解析】
（1）由题意得 , ,
所以当 时, ,
即 ,解得 ,
所以 ,
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 .
（2）由题意可得, ,
整理得, ,即 ,
两边同时取常用对数,得 ,
整理得 ,将 代入,得 ,
又因为 ,所以 .
综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
27．（2020·山东莱州一中高二月考）某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应
量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p ，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，若
市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
（1）试确定k、b的值；
（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q＝2﹣x．p＝q时，市场价格称为市场平
衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
【答案】(1) b＝5，k＝1； (2)500%
【解析】
（1）由已知可得： ，
∴ ，
解得：b＝5，k＝1
（2）当p＝q时，
∴（1﹣t）（x﹣5）2＝﹣x t＝1 1 ，
⇒
而f（x）＝x 在（0，4]上单调递减，∴当x＝4时，f（x）有最小值 ，
此时t＝1 取得最大值5；
故当x＝4时，关税税率的最大值为500%
