文档内容
建立数学模型解决实际问题
主要命题方向
1. 函数模型的增长差异；2. 巧用图象比较大小；3. 几种函数模型的应用；4. 一次函数与分段函数模型
问题；5. 二次函数模型问题；6. 指数型、对数型函数模型应用问题；7. 建模思想——函数模型的确定；
8. 指数、对数函数型实际应用问题.
配套提升训练
一、单选题
1．（2020·全国高三课时练习（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成
1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工
作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人
每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要
志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
2．（2020·全国高一课时练习）某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可
选择的模拟函数模型是（ ）
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b
3．（2020·全国高一课时练习）下列函数中随x的增长而增长最快的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江高一课时练习）当 时， ， ， 的大小关系是（ ）A． B．
C． D．
5．（2020·全国高一课时练习）一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图，那么图像所
对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
6．（2020·全国高一课时练习）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定
的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来
反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（ ）
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
7．（2020·全国高一课时练习）四人赛跑，假设他们跑过的路程f(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数
i
关系分别是f(x)＝x2，f(x)＝4x，f(x)＝log x，f(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的
1 2 3 2 4
函数关系是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝4x C．f(x)＝log x D．f(x)＝2x
1 2 3 2 4
8．（2020·湖北郧阳�高二月考）一种药在病人血液中的量保持 以上才有效，而低于 病人
就有危险．现给某病人注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时 的比例衰减，为了充分发
挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：
， ，答案采取四舍五入精确到 ）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
9．（2018·四川高三其他（理））中国高速铁路技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们用声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级
L（单位：dB）与声强I的函数关系式为： ．若普通列车的声强级是95dB，高速列车的
1
声强级是45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
10．（2020·沙坪坝�重庆一中高三月考（理））为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公
元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了
1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可
以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为 的星的亮度
为 .已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的
（ ）倍.（当 较小时， ）
A．1.27 B．1.26 C．1.23 D．1.22
二、多选题
11．（2019·全国高一课时练习）在某种金属材料的耐高温试验中，温度 随着时间 变化的情况由计算机
记录后显示的图像如图所示给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．前5min温度增加的速度越来越快
B．前5min温度增加的速度越来越慢
C．5min以后温度保持匀速增加
D．5min以后温度保持不变
E.温度随时间的变化情况无法判断
12．（2019·全国高一课时练习）（多选）下面对函数 与 在区间 上的衰减情况的说法中错误的有（ ）
A． 的衰减速度越来越慢, 的衰减速度越来越快
B． 的衰减速度越来越快， 的衰减速度越来越慢
C． 的衰减速度越来越慢， 的衰减速度越来越慢
D． 的衰减速度越来越快， 的衰减速度越来越快
13．（2019·全国高一课时练习）（多选）有一组实验数据如表所示：
1 2 3 4 5
1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型较不适合的有（ ）
A． B．
C． D．
m2
)
14.如图，某池塘里的浮萍面积 （单位： 与时间 （单位：月）的关系式为 ，且
； ，且 ．则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过C．浮萍面积从 蔓延到 只需经过5个月
D．若浮萍面积蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则
三、填空题
15．（2020·全国高一课时练习）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度
看，更为有前途的生意是________.
① ；② ；③ ；④
16．（2020·衡水中学实验学校高三一模（文））某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：
满足函数关系 为自然对数的底数， 、 为常数），若该食品在 的保鲜时
间是192小时，在 的保鲜时间是48小时，则该食品在 的保鲜时间是___小时.
17．（2020·全国高三月考（理））2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速
繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波
及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有 只，则经过____________天能达到最初的
16000倍（参考数据： ， ， ， ）.
四、双空题
18．（2020·浙江高一单元测试）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本
（单位：元/（ ））与上市时间 （单位：天）的数据如下表：
时间 （单位：天） 60 100 180
种植成本 （单位：元/（ ）） 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 与上市时间 的变化关系： ，
， ， ．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/（ ）．
19．（2019·山东黄岛�高三期中）声强级 （单位： ）由公式 给出，其中 为声强
（单位： ）.
（1）平时常人交谈时的声强约为 ，则其声强级为______ ；
（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ，能听到的最低声强为 ，则正常人听觉的
声强级范围为______ .
20．（2020·全国高三专题练习（理）） 年 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着
中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明
史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳 的
质量 随时间 （单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳 原有的质量），则经过
年后，碳 的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 的质量是原来的 至
，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到 年之间．（参考数据：
）
21．（2020·全国高一课时练习）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程
中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式
y＝ (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不高于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至
少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为
10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本
金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
23．（2020·浙江高一单元测试）研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 ，单位
是 ，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
（3）若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.
24．（2020·浙江高一课时练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速
前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s
（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减
少多少分钟？
25．（2020·公主岭市第一中学校高一期中（理））函数 和 的图像的示意图如图所示，
两函数的图像在第一象限只有两个交点
（1）请指出示意图中曲线 分别对应哪一个函数；
（2）比较 的大小，并按从小到大的顺序排列；
（3）设函数 ,则函数 的两个零点为 ，如果 ，其中
为整数，指出 的值，并说明理由．
26．（2020·吉林公主岭�高一期末（理））节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国
家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的
污染物数量为 ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为 .设改良工艺前所排放
的废气中含有的污染物数量为 ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为 ,则第n次改良后所
排放的废气中的污染物数量 ,可由函数模型 给出,其中n是指改
良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;
（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过 ,试问至少进行多少次
改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
（参考数据:取 ）
27．（2020·山东莱州一中高二月考）某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应
量p（单位：万件）之间近似满足关系式：p ，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，若
市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．
（1）试确定k、b的值；
（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：q＝2﹣x．p＝q时，市场价格称为市场平
衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
