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2024-2025 学年安徽省县中联盟高一下学期 3 月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简： ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( )
AB−(DC−BC)+DA=
A. ⃗ B. C. D. ⃗
⃗AD 0⃗
2AD 2DA
2.已知集合 ， ，则 ( )
A={x|x2<2x} B={y|y=sinx} A∩B=
A. (0,1) B. (0,1] C. (−1,0] D. [−1,0)
3.已知向量 ⃗a=(−2,−1) ，⃗ b=(−1,−1) ，则向量 ⃗b 在向量 ⃗a 上的投影向量为( )
6√5 3√5 2√5 √5 6 6 3
A. (− ,− ) B. (− ,− ) C. (− ,−1) D. (− ,− )
5 5 5 5 5 5 5
4.已知向量 ⃗a=(x,1) ，⃗
b=(2,x−1)
，则“ ⃗a//⃗b ”是“ x=2 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.已知a=log 2，b=log 0.2，c=2−0.1，则( )
0.5 2
A. a0,ω>0,|φ|< )
2
来表示，则下列结论正确的是( )
π
A. B=3 B. ω=
3
C. 13:00时的水深约为6.25m D. 一天中水深低于3.75m的时间为4小时
8.在边长为2的正方形ABCD中作出Rt△EFG，直角顶点G为AB的中点，其他两顶点E，F分别在边AD，
BC上运动，则△EFG的周长的取值范围为( )
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1 13√5+5 3√5+5
A. [2√2+2, ] B. [√2+1, ]
2 4
3√5+5
C. [√2+1, ] D. [2√2,5]
2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知三个非零向量⃗a，⃗b，⃗c，则下列命题正确的是( )
⃗ ⃗
a b
A. 若 ⃗ ⃗ ，则 =
a=3b
⃗ ⃗
|a| |b|
B. 若|⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b|，则⃗a⊥⃗b
C. 若 ，则 或⃗ ⃗
|⃗a|>|⃗b| ⃗a>⃗b
a<−b
D. 若 ⃗a//⃗b ，则
(
⃗
b⋅
⃗
c)
⃗
a=(
⃗
a⋅
⃗
c)
⃗
b
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
π
A. 若a=2√3，A= ，则△ABC的外接圆的面积为4π
3
π
B. 若a=3，b=4，A= ，则满足条件的三角形有两个
3
C. 若△ABC为锐角三角形，则sin A+sinB>cosA+cosB
D. 若B>C，则tanB>tanC
11.记 表示 ， 中的较大者，若函数 ，则( )
max{a,b} a b f(x)=emax{sinx,cosx}
π
A. f(x)是周期函数 B. x= 是函数f(x)的图象的对称轴
4
1 π 5π
C. f(x)的值域为[ ,e] D. f(x)在( , )上单调递减
e 2 4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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2 112.已知狄利克雷函数 { 1,x∈Q, 则 1 ．
D(x)= D(D(√2))+D(D( ))=
0,x∈∁ Q, 2
R
13.如图，为了测量一条大河两岸A，B之间的距离，无人机升至ℎ米的空中沿水平方向飞行至C点进行测
量，A，B，C在同一铅垂平面内.在C点测得A，B的俯角为α，β(β<α)，则|AB|= 米.
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA+ccos(A+C)=bcosC，若c=6，则
对 ， ⃗ ⃗ 的最小值为 ．
∀λ∈R
|AB−λAC|
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
化简下列各式：
cos2 (3π−α)tan(π+α)
(1) ;
sin(π+α)cos(−α)
．
(2)√1−2sin200∘cos200∘+cos160∘−sin340∘
16.(本小题12分)
在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=CD=1，E为AB的中点，点F在BC上，且⃗BF=2⃗FC，
记⃗AB=⃗a，⃗AD=⃗b．
用向量 ， 表示向量 ⃗
(1) ⃗a ⃗b
EF;
求 ⃗ ⃗ 的值．
(2)
AF⋅EF
17.(本小题12分)
π 1
将y=2sin(x+ )的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向上平移1个
3 2
单位长度，得到y=f(x)的图象．
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3 1(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)的图象的对称轴方程;
(3)求不等式f(x)>0的解集．
18.(本小题12分)
若对定义在D上的函数g(x)，∀x∈D，存在m，n，使得g(m+x)+g(m−x)=2n恒成立，则g(x)的
4+x
图象关于点(m,n)对称.已知函数f(x)=log +ax+2(a>0，且a≠1)．
a4−x
(1)证明：函数f(x)的图象是中心对称图形;
1 1 1 1
(2)求f(− )+f(− )+⋯+f(−1)+f(0)+f(1)+f( )+⋯+f( )的值;
2025 2024 2 2025
(3)当a=2时，求f(x)在[0,2]上的最小值．
19.(本小题12分)
若一个三角形中两边的平方和是第三边平方的 倍 ，则称该三角形为 阶准直角三角形
m (m>1,m∈N∗) m .
cosA cosB 2cosC
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 + =
a b c
(1)证明：△ABC是2阶准直角三角形;
(2)若4sinA=3sinB，求cosC的值;
(3)若c=4，求△ABC的面积的最大值．
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4 1参考答案
1.C
2.B
3.D
4.B
5.D
6.A
7.C
8.A
9.ABD
10.AC
11.ABD
12.2
ℎsin(α−β)
13.
sinαsinβ
14.3√3
15.解： cos2 (3π−α)tan(π+α) (−cosα) 2tanα cosαsinα ．
(1) = = =−1
sin(π+α)cos(−α) −sinαcosα −sinαcosα
√2 √2
(2)因为sin20∘cos45∘= ，所以sin20∘−cos20∘<0，
2 2
所以
√1−2sin200∘cos200∘+cos160∘−sin340∘=√1−2sin20∘cos20∘−cos20∘+sin20°
=√(sin20∘−cos20∘) 2−cos20∘+sin20∘=|sin20∘−cos20∘|−cos20∘+sin20∘
=cos20∘−sin20∘−cos20∘+sin20∘=0．
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1⃗
16.解：(1)如图所示，连接DE，则四边形EBCD为平行四边形，所以BC=ED=AD−AE=b− a，
2
⃗ 2 ⃗ 2⃗ 1⃗
因为点F在BC上，且⃗BF=2⃗FC，所以BF= BC= b− a，
3 3 3
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5 1⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ 2⃗ 1⃗ 1⃗ 2⃗
所以EF=EB+BF= a+ b− a= a+ b．
2 3 3 6 3
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2⃗ 1⃗ 2⃗ 2⃗
(2)由(1)可知，AF=AB+BF=a+ b− a= a+ b，
3 3 3 3
1
由在等腰梯形ABCD中，过C，D分别作AB的垂线，垂足分别为M，N，则AN=BM= ，所以
2
∠DAB=60∘，
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1
由题意知|⃗a|=2，|⃗b|=1，且a⋅b=|a|⋅|b|cos60∘=2×1× =1，
2
⃗ ⃗ 2⃗ 2⃗ 1⃗ 2⃗ 1⃗ 5⃗ ⃗ 4⃗ 1 5 4 13
AF⋅EF=( a+ b)⋅( a+ b)= a2+ a⋅b+ b2= ×4+ ×1+ ×1= ．
3 3 6 3 9 9 9 9 9 9 9
π
17.解：(1)由函数图象的变换得到，f(x)=2sin(2x+ )+1，
3
π π
因为y=sinx的递增区间为[2kπ− ,2kπ+ ]，k∈Z，
2 2
π π π
令2kπ− ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
2 3 2
5π π
得kπ− ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
12 12
5π π
所以f(x)的递增区间为[kπ− ,kπ+ ]，k∈Z.
12 12
π π 1 π
(2)令2x+ =kπ+ ，k∈Z，得x= kπ+ ，k∈Z，
3 2 2 12
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6 11 π
所以f(x)图象的对称轴的方程为x= kπ+ ，k∈Z;
2 12
π 1
(3)由f(x)>0，得sin(2x+ )>− ，
3 2
π π 7π
所以2kπ− <2x+ <2kπ+ ，k∈Z，
6 3 6
π 5π
解得kπ− 0的解集为(kπ− ,kπ+ )，k∈Z.
4 12
18.(1)证明：f(x)的定义域为(−4,4)，
4+x
设g(x)=log +ax，
a4−x
4−x 4+x
因为∀x∈(−4,4)，g(−x)=log −ax=−(log +ax)=−g(x)，
a 4+x a4−x
所以f(x)+f(−x)=4，
所以函数f(x)的图象关于点(0,2)对称，
故函数f(x)的图象是中心对称图形．
(2)解：由(1)可知，∀x∈(−4,4)，都有f(−x)+f(x)=4成立，
1 1 1 1
又f(0)=2，所以f(− )+f(− )+⋯+f(−1)+f(0)+f(1)+f( )+⋯+f( )
2025 2024 2 2025
1 1 1 1 1 1
=[f(− )+f( )]+[f(− )+f( )]+⋯+[f(− )+f( )]+[f(−1)+f(1)]+f(0)
2025 2025 2024 2024 2 2
=2025×4+2=8102．
(3)解：∀x ，x ∈[0,2]，且x 0，
1 2 1 2 1 2
所以(4−x )(4+x ) ，则 (4−x )(4+x ) ，
1 2 <1 log 1 2 <0
(4+x )(4−x ) 2 (4+x )(4−x )
1 2 1 2
因为2(x −x )>0，所以f(x )−f(x )<0，即f(x )
