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第四章 指数与对数函数
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．下列函数中值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 值域为 ， 值域为R， 值域为 ， 值域
为R，故只有 满足.故选：C
2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：∵函数 的定义域为
∴ ， ∴函数 中，
∴ 所以函数 的定义域为[ ]．故选：D
3．已知当 时，函数 的值总大于1，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：根据指数函数性质知 ，解得 ．故选：C．
4．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C
取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足 ，其中T为信噪比．若
不改变带宽W，而将信噪比T从9提升到39，则C大约增加了（ ）．（附：
）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
【来源】四川省凉山彝族自治州2021-2022学年高二下学期期末数学（理）试题【答案】C
【解析】当 时， ，
当 时， ，
则 ，所以C大约增加了 ，
即C大约增加了60％故选：C
5．若函数 则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【来源】广东省云浮市2021-2022学年高二下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为 ，所以 .故选：C.
6．已知 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，若 ，则
（ ）
A．5 B． C．3 D．
【来源】江西省上饶市重点中学协作体2021-2022学年高二下学期期末联考数学（文）试
题
【答案】B
【解析】由 得： ，因为
分别是定义在 上的奇函数和偶函数，所以 ，故
可解得： 故选：B
7．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【来源】福建省宁德市2021-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，故选：A.
28．已知函数 ，若方程 有5个不同的实数解，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省商丘市名校2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题
【答案】D
【解析】函数 的大致图象如图所示，对于方程 有5个不同的
实数解，令 ，则 在 ， 上各有一个实数解或
的一个解为-1，另一个解在 内或 的一个解为-2，另一个
解在 内.
当 在 ， 上各有一个实数解时，设 ，则
解得 ；
当 的一个解为-1时， ，此时方程的另一个解为-3，不在 内，不
满足题意；当 的一个解为-2时， ，此时方程的另一个解为 ，在
内，满足题意.综上可知，实数a的取值范围为 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为C．函数 在 上为增函数 D．函数 有两个零点
【来源】重庆市九龙坡区2021-2022学年高二下学期期末数学试题
【答案】AD
【解析】做出函数简图如下
对于A选项：根据函数解析式可知，A选项显然正确
对于B选项：结合图像易知，当 时， ，故B选项错误
对于C选项：由图像易知，C选项显然错误
对于D选项：因为 ， ，所以D选项正确.故选：AD
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为减函数
C． 有且只有一个零点 D． 的值域为
【来源】湖南省益阳市安化县2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题
【答案】AC
【解析】： 函数 ， ，
， 为奇函数．故A正确．
．
在 上单调递增，所以 在 上为增函数．故B错误．
令 ，则 ，得到 ，所以 有且只有一个零点．故C正确．
在 上为增函数，
令 ，则 ，所以 ，所以 ，即 ，解得
， ．故D错误．故选：AC．
411．给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（ ）
A．函数 的图象过定点
B．化简 的结果为25
C．已知函数 （ 且 ）在 上是减函数，则实数a的取值范围是
D．幂函数 的图象经过点 ，则
【来源】吉林省长春市实验中学2021-2022学年高一上学期第一次阶段考试数学试题
【答案】BD
【解析】A选项， ，所以A选项错误.
B选项， ，
，
所以 ，B选项正确.
C选项， 在 上递减，所以 ，C选项错误.
D选项， ，D选项正确.故选：BD
12．设函数 则（ ）
A．当 时， 的值域为
B．当 的单调递增区间为 时，
C．当 时，函数 有2个零点
D．当 时，关于x的方程 有2个实数解
【答案】AB
【解析】当 时，当 时， ，当 时，
单调递增，故 ，综上： 的值域为 ，A正确；
的单调递增区间是 和 ，因为 的单调递增区间是 ，
所以 ，即 ，B正确；当 时，由 ，得 ，当 时，令 ，得 ，此方程
要有唯一解，得 ，即 ，C错误；
当 时，令 ，即 ，解得： 或 ，
符合要求，令 ，解得： ，符合要求，所以 的图象与直线 有3
个交点，D错误.故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】 【解析】根据条件可知 在R上恒成立，则 ，且
，解得 ，故a的取值范围是 .故答案为： .
14．已知函数 是定义在 上的奇函数， 满足 ，且当 时，
，则 的值为_________.
【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高二下学期期末文科数学试题
【答案】1
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 的周期为4，因为当 时， ，所以
，故答案为：1
15．已知函数 .
①对于任意实数 ， 为偶函数；
②对于任意实数 ， 在 上单调递减，在 上单调递增；
③存在实数 ，使得 有3个零点；
④存在实数 ，使得关于 的不等式 的解集为 .
所有正确命题的序号为___________.
【来源】第09练 函数的应用-2023年高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）
【答案】①②④
6【解析】 ， 为偶函数，①正确；
当 时， 在 上单调递增，再根据偶函数可得 在 上单调
递减，②正确；令 ，则 ，结合图像可知： 与 至多有两
个交点，则 至多有两个零点，③不正确；
当 时， ，根据②可知 在 上单调递减，在 上
单调递增，且
∴不等式 的解集为 ，④正确；故答案为：①②④．
16．定义在 上函数 满足 ，且当 时， ．若对
任意 ，都有 ，则 的取值范围是___________．
【来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题
【答案】
【解析】因为当 ， 时， ，
所以 ，因为 ，
当 ， 时，即 时，所以 ，即 ，
当 ， ，即 ， 时， ，
当 ， ，即 ， 时， ，
所以 ，依此类推，作出函数 的图象，如图所示：
由图象知： ， ,当 时， ，
当 时,因为对任意 ， ，都有 ，则 ，解得： ，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知 ，函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若方程 的解集恰有一个元素，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：当 时，不等式 ，即 ，所以 ，解得
，故不等式的解集为 ；
（2）解：由 ，可得 ，解得 ，
，若 ，则 ，检验定义域，符合题意；若 是原方程的解，则
， ；若 是原方程的解，则 ，即 ．因为方程
的解集恰有一个元素，所以实数 的取值范围为 ．
18（12分）已知 ．
(1)当 时，求函数 的定义域及不等式 的解集；
(2)若函数 只有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：当 时， ，∴ 的定义域为 ，∴
，即 ，∴函数 的定义域为 ，不等式 等价于
8，∴ ，即 ，∴不等式 的解集为
；
（2）解： ，∵函数
只有一个零点，∴ 只有一解，将 代入 ，得
，∴关于x的方程 只有一个正根，当 时， ，符合题意；当 时，
若 有两个相等的实数根，则 ，解得 ，此时 ，符
合题意；若方程 有两个相异实数根，则 ，即 ，∴两根之和
与积均为 ，∴方程两根只能异号，∴ ，即 此时方程只有一个正根，符合题
意．综上，实数a的取值范围是： ．
19（12分） 已知定义在 上的函数 是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数 在 上的单调性并证明；
(3)解不等式： ．
【来源】辽宁省辽阳市第一高级中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题
【答案】(1)1；(2)单调递减，理由见解析；(3) .
【解析】(1)依题意，函数 ，因 是R上的偶函数，即 ，
，
因此， ， ，
而当 时， ，于是得 ，
所以a的值是1.
(2)由（1）知， ，函数 在 上单调递减，
， ，
，因 ，则 ， ， ，因此， ，即
，所以函数 在 上单调递减.
(3)依题意， ，
而 ， ，
由（2）知， ，解得 ，所以原不等式的解集是 .
20．（12分）已知 ，其中 为常数
(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，关于 的不等式 恒成立，试求 的取值范围；
【答案】(1) (2)
【解析】(1) 得
；
⇒ ⇒
(2)
，令 ，
，设 ，则
在 上为增函数 时， 有最小值为2， .
⇒
21．（12分）已知 且 ，函数 ，
(1)求 的单调区间和值域；
(2)若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围；
(3)若对于任意 ，任意 ，都有 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)函数的递增区间为 ，递减区间为 ， (2) (3)
【解析】(1)
则 ， 为偶函数
10设 ，则函数 等价为
若 ，当 时， 单调递增，且 ，此时函数 在 上单调递增，
根据复合函数的单调性可知此时 单调递增．
若 ，当 时， 单调递减，且 ，此时函数 在 上单
调递减， 根据复合函数的单调性可知此时 单调递增．
综上当 时，函数单调递增
函数 是偶函数， 当 时，函数单调递减．
故函数的递增区间为 ，递减区间为 ． 函数的值域为 ]．
(2) 且 ，
的对称轴为 ，
函数 在 时，函数单调递减．
， ．即 ，
若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，
即 且 ，
则 ，即 ，
此时 ， 且 ， ，即 的取值范围是 ；
(3)若对于任意 ，任意 ，都有 恒成立
即 则 ，
，解得 且 即 的取值范围
22（12分）已知函数 是定义在 上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式 的解集；
(3)若关于x的不等式 恒成立，求实数k的取值范围.
【来源】河南省商开大联考2021-2022学年高二下学期期末数学（理）试题【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 （经检验， 符合题意）
(2)由（1）得 ，
因为 与 在 上均为增函数，所以 在 上为增函数，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以不等式 的解集是 .
(3)因为关于x的不等式 恒成立，即 恒成立，
所以 恒成立，所以 ，
因为 ，
所以当 ，即 时， 取得最小值 .
所以 ，即实数k的取值范围是
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